Поступательное движение

Связь движения тела и движения его точек

Рисунок 2 Пример трёхмерного поступательного движения тела

Если тело движется поступательно, то для описания его движения достаточно описать движение произвольной его точки (например, движение центра масс тела).

Одной из важнейших характеристик движения точки является её траектория, в общем случае представляющая собой пространственную кривую, которую можно представить в виде сопряжённых дуг различного радиуса, исходящего каждый из своего центра, положение которого может меняться во времени. В пределе и прямая может рассматриваться как дуга, радиус которой равен бесконечности.

В таком случае оказывается, что при поступательном движении в каждый заданный момент времени любая точка тела совершает поворот вокруг своего мгновенного центра поворота, причём длина радиуса в данный момент одинакова для всех точек тела. Одинаковы по величине и направлению и векторы скорости точек тела, а также испытываемые ими ускорения.

При решении задач теоретической механики бывает удобно рассматривать движение тела как сложение движения центра масс тела и вращательного движения самого тела вокруг центра масс (это обстоятельство принято во внимание при формулировке теоремы Кёнига).

Вращательное движение

Абсолютно твердое тело

Для описания вращательного движения нельзя использовать понятие материальной точки, поскольку оно предполагает, что все точки тела движутся одинаково.

При вращательном движении ситуация иная. Различные точки тела всегда движутся по-разному. Поэтому для вращательного движения вместо понятия «материальной точки» используется понятие «абсолютно твердого тела».

Рис. 1. Абсолютно твердое тело

Равномерное вращение абсолютно твердого тела

Вращением абсолютно твердого тела называют такое движение материальных точек, составляющих тело, при котором траектории движения точек представляют собой окружности с центрами, лежащими на одной прямой. Эта прямая называется «осью вращения», и как правило (но необязательно), проходит через само тело. При этом плоскости, в которых лежат траектории, параллельны между собой и перпендикулярны оси вращения. Примерами вращательного движения являются движение колес автомобиля, движение шестерен в механических часах, движение роторов электрических двигателей.

Рис. 2. Вращательное движение разных тел

При равномерном вращательном движении все точки тела поворачиваются на один и тот же угол за одно и то же время, поэтому скорость вращения измеряется в радианах в секунду:

$$\omega ={Δ\phi \over Δt},$$

где:

  • $Δ\phi$ – угол поворота, радиан.
  • $Δt$ – время, за которое поворот совершается, секунд.

Иногда известна не угловая скорость, а время одного оборота (период) $T$ (секунд) или частота, с которой происходит вращение $\nu$ (оборотов в секунду). Эти величины связаны соотношением

$$\omega = {2\pi\over T}=2\pi\nu$$

В отличие от поступательного движения, точки тела при вращении имеют различные мгновенные скорости. Эту особенность вращения легко объяснить, если учесть, что длина траектории зависит от ее радиуса. Если радиус траектории $R$, то длина траектории будет равна $2\pi R$, и мгновенная линейная скорость будет связана с угловой скоростью, периодом и частотой вращения соотношением

$$v=\omega R={2\pi R\over T}=2\pi\nu R$$

Из этой формулы следует, что мгновенная линейная скорость точек тела тем больше, чем дальше расположена точка от оси вращения.

Мгновенное поступательное движение

Мгновенное поступательное движение и мгновенное вращение твердого тела — — Может случиться, что в некоторый момент t скорости v всех точек твердого тела геометрически равны между собой

Однако важно никогда не упускать из виду, что выражение мгновенное поступательное движение обозначает исключительно состояние скоростей всех точек твердого тела в момент t, а не действительное движение этого тела.
 . Это возможно при мгновенном поступательном движении.

Это возможно при мгновенном поступательном движении.

Таким образом, несколько мгновенных поступательных движений, совершающихся одновременно, приводятся к одному результирующему мгновенному поступательному движению.

Заметим, что при мгновенном поступательном движении только скорости точек одинаковы, а их ускорения в общем случае различны. Невозможен случай, когда скорости двух точек, не лежащих на общем перпендикуляре к скоростям, не равны друг другу по модулю, но параллельны ( рис. 51), так как для него не выполняется теорема о проекциях скоростей двух точек тела на прямую, соединяющую эти точки.

Заметим, что при мгновенном поступательном движении только скорости точек одинаковы, а их ускорения в общем случае различны.

Заметим, что при мгновенном поступательном движении только скорости точек одинаковы, а их ускорения в общем случае различны.

Заметим, что при мгновенном поступательном движении только скорости точек одинаковы, а их ускорения в общем случае различны. Невозможен случай, когда скорости двух точек, не лежащих на общем перпендикуляре к скоростям, не равны друг другу по модулю, но параллельны ( рис. 51), так как для него не выполняется теорема о проекциях скоростей двух точек тела на прямую, соединяющую эти точки.

Угловая скорость плоской фигуры при мгновенном поступательном движении равна нулю, и в этом случае согласно формуле ( 7) мгновенный центр скоростей находится в бесконечности.

Покажем, что пара вращений дает мгновенное поступательное движение или, иначе, что пара мгновенных угловых скоростей эквивалентна поступательной скорости.

Вектор v, как вектор скорости мгновенного поступательного движения, есть вектор свободный; его называют также вектором-моментом пары вращений.

Отсюда следует, что пара мгновенных вращений эквивалентна мгновенному поступательному движению со скоростью, равной моменту пары.

Таким образом, пара мгновенных вращений твердого тела эквивалентна мгновенному поступательному движению со скоростью, равной векторному моменту данной пары угловых скоростей.

Здесь имеется случай пары вращений — звездочка / / совершает мгновенное поступательное движение.

Убедимся элементарными рассуждениями, что в этом случае мы действительно имеем дело с мгновенным поступательным движением. Предположим, что вендоры угловых скоростей со и — ( о перпендикулярны к плоскости чертежа; пусть будут О1 и 02 соответственно следы этих угловых скоростей на плоскости чертежа ( черт.

Скорости двух точек тела равны по модулю и направлению, следовательно, оно совершает мгновенное поступательное движение.

Возвратно-поступательный механизм своими руками

Существенно сэкономить можно путем создания возвратно-поступательного механизма своими руками. В некоторых случаях его делают из дрели, в других для передачи вращающего крутящего момента используется электрический двигатель.

Особенностями назовем нижеприведенные моменты:

  1. Большинство конструкций самостоятельно изготовить не получается, так как требуемые детали характеризуются высокой сложностью. Примером можно назвать сочетание кривошипного вала и шестерни.
  2. Во всех случаях должны проводится расчеты, так как в противном случае обеспечить требуемые параметры не получается.
  3. Изготовить конструкцию рассматриваемого типа можно только при наличии специального оборудования. Если устройство сделано своими силами, то его реальные параметры от расчетных могут существенно отличаться.

В целом можно сказать, что рассматриваемая задача довольно сложна в исполнении. Именно поэтому работу должны проводить исключительно профессионалы, которые могут провести сложные расчеты, а также изготовить требуемые детали.

Как самостоятельно изготовить храповик?

Для того чтобы существенно сэкономить на создании механизма можно изготовить храповик своими руками. Расчет храпового механизма проводится в зависимости от требований, которые предъявляются к системе. Изготовить храповый механизм своими руками можно следующим образом:

В качестве основного элемента можно использовать металлическую трубу. На используется для создания вала, который будет применяться для непосредственной передачи вращения

При выборе трубы следует уделить внимание тому, чтобы толщина стенки была требуемой величины. В противном случае он не сможет выдержать требуемую нагрузку.
Из стального листа вырезается небольшой кусок профиля, который играет роль фиксирующей детали

Рекомендуется уделять внимание сплавам с повышенной прочностью и износостойкостью. В большинстве случаев уделяется внимание варианту исполнения, который прошел закалку для повышения твердости поверхностного слоя.
Больше всего проблем возникает в случае подгонки основных элементов друг к другу. Только в этом случае устройство будет работать правильно. Именно поэтому при работе приходится использовать точные измерительные инструменты. Примером можно назвать микрометр или штангенциркуль.
Несущая база изготавливается из металлических листов, которые соединяются между собой при применении технологии сварки. Подобная база создается в зависимости от особенностей будущей конструкции.
Колесо должно иметь на рабочей поверхности зубья, за счет которых обеспечивается зацепление. Этот элемент соединен с валом зачастую при помощи шпонки, которая характеризуется высокой надежностью. Колесо изготовить самостоятельно достаточно сложно, так как поверхностный слой должен характеризоваться высокой надежностью и прочностью. Чаще всего храповое колесо снимается с других механизмов или заказывается у мастера, который предоставляет соответствующие услуги.
Вал крепится посредством сварки. Подобный тип соединения характеризуется повышенной прочностью и длительным эксплуатационным сроком. Нужно уделять довольно много внимания качеству сварочного шва, так как даже незначительные дефекты могут стать причиной возникновения существенных проблем. Собачка изготавливается при применении пружины и ходового элемента. Пружину можно снять с других механизмов, ходовая деталь отвечает за смещение собачки относительно зуба.

В целом можно сказать, что процесс изготовления рассматриваемой конструкции характеризуется довольно большим количеством сложностей. Только при наличии требующихся навыков и инструментов можно достигнуть поставленных задач. Храповой механизм чертеж можно скачать в интернете. При применении правильно разработанного проекта может быть уверенным в том, что все детали идеально подойдут друг к другу.

Применение

Из всех типов передач наиболее широко применяются зубчатые. Практически любой механизм, бытовой прибор, станок, механические часы, транспортное средство включает в себя зубчатые пары.

В последнее время, с прогрессом электротехники, разработкой новых материалов и отходом двигателей внутреннего сгорания на второй план, использование зубчатых механизмов приобрело тенденцию к сокращению.

Все чаще вместо редуктора используют электронную схему регулировки момента и числа оборотов электродвигателя. В электромобиле из нескольких тысяч движущихся частей, 30% из которых составляли разного вида шестерни, осталось несколько сотен.

Тяговые электродвигатели размещены непосредственно в колесе, необходимость в сложной трансмиссии отпадает.

Похожие тенденции намечаются и в бытовой технике.

Примеры устройств [ править | править код ]

Принцип поступательного движения реализован в чертёжном приборе — пантографе, ведущее и ведомое плечо которого всегда остаются параллельными, то есть движутся поступательно. При этом любая точка на движущихся частях совершает в плоскости заданные движения, каждая вокруг своего мгновенного центра вращения с одинаковой для всех движущихся точек прибора угловой скоростью.

Существенно, что ведущее и ведомое плечо прибора, хотя и движущиеся согласно, представляют собой два разных тела. Поэтому радиусы кривизны, по которым движутся заданные точки на ведущем и ведомом плече могут быть сделаны неодинаковыми, и именно в этом и заключается смысл использования прибора, позволяющего воспроизводить любую кривую на плоскости в масштабе, определяемом отношением длин плеч.

По сути дела пантограф обеспечивает синхронное поступательное движение системы двух тел: «читающего» и «пишущего», движение каждого из которых иллюстрируется приведённым выше чертежом.

Поступательное движение — это механическое движение твёрдого тела, при котором любой отрезок прямой, жестко связанный с движущимся телом, остается параллельным своему первоначальному положению.

Одной из важнейших характеристик движения точки является её траектория, в общем случае представляющая собой пространственную кривую, которую можно представить в виде сопряженных дуг различного радиуса, исходящего каждый из своего центра, разного для разных точек тела положение которого может меняться во времени.

В частном случае прямая может рассматриваться как дуга, радиус которой в данных условиях может считаться равным бесконечности.А движение по произвольной траектории -как набор сопряжённых дуг.

В таком случае оказывается, что при поступательном движении в каждый заданный момент времени любая точка тела совершает поворот вокруг своего мгновенного центра поворота, причём длина радиуса в данный момент одинакова для всех точек тела. Одинаковы по величине и направлению и векторы скорости точек тела, а также испытываемые ими ускорения.

Однако, поскольку траектория является понятием, относящимся к области кинематики, и не содержит информации о скоростях, в общем случае она не даёт представления ни о величине испытываемых материальной точкой сил, ни об их направлении.

Тем не менее возможны случаи, когда по условиям задачи бывает достаточно изучить движение одной какой-то произвольной материальной точки тела (например, движение центра масс тела).

Поступательно движется, например, кабина лифта или кабина колеса обозрения.

В общем случае поступательное движение происходит в трёхмерном пространстве, но его основная особенность -сохранение параллельности любого отрезка самому себе, остаётся в силе.

Математически поступательное движение эквивалентно параллельному переносу.

При решении задач теоретической механики бывает удобно рассматривать движение твердого тела как суперпозицию движения центра масс тела и вращательного движения самого тела вокруг центра масс (теорема Кёнига).

Усилие от источника к исполнительному органу может передаваться самым различным образом. Довольно большое распространение получили варианты исполнения, предназначение которых заключается в преобразовании вращательно движения в возвратно-поступательное. Подобный механизм сегодня устанавливается крайне часто. Рассмотрим разновидности, область применения и многие другие моменты подробнее.

Сравнение формул для вычисления

Примеры вращательного движения тел (глобус, колесо) показывают, что вращение тела характеризуется угловой скоростью. Она обозначает, на какой угол оно повернется за единицу времени. В технике угловую скорость часто выражают числом оборотов в минуту. Если угловая скорость постоянна, то можно говорить, что тело вращается равномерно. Когда угловая скорость равномерно возрастает, то вращение называется равноускоренным. Сходство законов поступательного и вращательного движений очень значительно. Отличаются только буквенные обозначения, а формулы вычисления – одинаковы. Это хорошо видно в таблице.

Поступательное движение Вращательное движение

Скорость v

Путь s

Время t

Ускорение a

Угловая скорость ω

Угловое перемещение φ

Время t

Угловое ускорение ą

s = v * t φ = ω * t

v = a * t

S = a*t2 / 2

ω = ą * t

φ = ą*t2 / 2

Все задачи по кинематике как поступательного, так и вращательного движения аналогично решаются по этим формулам.

Общее и различие

При решении задач механики необходимо четко представлять, в чем схожесть и различие между поступательным и вращательным движениями.

Общие черты заключаются в самом понятии движения. Поступательное и вращательное движение твердого тела – это изменение координат точек тела с течением времени. Независимо от вида движений все точки тела всегда имеют некоторые координаты в Системе Отсчета, некоторую скорость и некоторое ускорение.

Параметры поступательного и вращательного движений неодинаковы, но аналогичны. Вместо координаты для описания вращения используется угол поворота, скорость и ускорение для вращения являются угловыми.

Однако, если поступательное движение описывается относительно только принятых координатных осей, то для вращательного движения учитывается еще одна ось, относительно которой совершается вращение. Следствием этого является необходимость учитывать расстояние до этой оси (радиус вращения), а также невозможность описания вращательного движения с помощью только одной координаты. Вращение всегда требует двух или трех координат.

Еще одна особенность вращательного движения – невозможность движения без ускорения. Даже если вращение происходит с постоянной угловой скоростью, и угловое ускорение равно нулю, мгновенная скорость материальной точки постоянно меняет направление, а значит, такое движение происходит с ускорением, которое называется центростремительным.

Рис. 3. Аналогия величин для поступательного и вращательного движения.

Что мы узнали?

Любые движения тел могут быть описаны суммой простейших поступательных и вращательных движений. Поступательное движение – это движение, при котором траектории всех точек тела одинаковы. Вращательное движение – это движение, при котором траектории точек тела представляют собой окружности (или дуги окружностей) с центрами, лежащими на одной прямой (в одной точке для двумерного случая).

Масса тела, его форма и момент инерции

В приведенной таблице не проводится сравнение по формуле второго закона Ньютона, так как это требует дополнительного объяснения. В эту формулу входит показатель массы, который характеризует степень инертности тела. При вращении тела его инертность не характеризуется его массой, а определяется такой величиной, как момент инерции. Этот показатель находится в прямой зависимости не столько от массы тела, сколько от его формы. То есть имеет значение то, как в пространстве масса тела распределена. Тела различной формы будут иметь разные значения момента инерции.

При вращении материального тела по окружности его момент инерции будет равен произведению массы вращающегося тела на квадрат радиуса оси вращения. Если точка переместится от оси вращения на вдвое большее расстояние, то показатель момента инерции и устойчивость вращения увеличатся в четыре раза. Вот почему маховые колоса делают большими. Но и слишком сильно увеличивать радиус колеса нельзя, так как при этом растет центростремительное ускорение точек его обода. Образующая это ускорение сила сцепления молекул может стать недостаточной для удержания их на круговом пути, и колесо разрушится.

Астрономия

В астрономии вращение является часто наблюдаемым явлением. Звёзды, планеты и аналогичные тела вращаются вокруг своих осей. Скорость вращения планет Солнечной системы была впервые измерена путём зрительного наблюдения. Скорость вращения звёзд измеряется по допплеровскому смещению или отслеживанием активных участков на поверхности.

Это вращение имеет центробежное ускорение в системе отсчёта на Земле, которое слегка компенсирует силу гравитации вблизи экватора. Первый эффект состоит в том, что на экваторе вес объекта слегка меньше. А другой эффект заключается в том, что Земля слегка деформирована в форму сплюснутого у полюсов сфероида.

Другое следствие вращения планет состоит в явлении прецессии. Подобно гироскопу, общий эффект состоит в лёгком «вихлянии» движения оси планет. В настоящее время наклон земной оси к орбитальной плоскости (плоскости эклиптики) составляет 23,45 градуса, но этот угол медленно изменяется. (Смотри также Предварение равноденствий).

Вращение и орбитальное движение

Основная статья: Орбита

Связь между осью вращения, плоскостью орбиты и наклоном оси вращения (для Земли).

Поскольку движение по орбите часто используется как синоним вращения, во многих науках, особенно в астрономии и смежных областях, орбитальное движение применяется тогда, когда одно тело движется вокруг другого, тогда как вращение используется для обозначения вращения вокруг оси. Спутники вращаются вокруг своих планет, планеты движутся вокруг своих звёзд (как, например, Земля вокруг Солнца), а звёзды медленно вращаются вокруг своих центров галактик. Движение составных частей галактик является сложным, но оно обычно включает в себя элементы вращения.

Инверсное вращение

Основная статья: Движение Солнца и планет по небесной сфере

Большинство планет нашей солнечной системы, включая Землю, вращаются вокруг своей оси в том же направлении, в котором они движутся по орбите вокруг Солнца. Исключение составляют Венера и Уран. Уран тоже вращается почти в том же направлении по отношению к своей орбите. Современная гипотеза состоит в том, что Уран начинал первоначальное вращение точно в той же ориентации, что и движение по орбите, однако затем получил сильный боковой удар на раннем этапе своей истории. Венеру можно считать медленно вращающейся в обратном направлении (или «сверху вниз»). Карликовая планета Плутон (ранее считавшийся планетой) тоже имеет аномальное вращение.

Линейное и угловое ускорение

Другой важной характеристикой в кинематике вращательного движения материальной точки является угловое ускорение. Перед тем как познакомиться с ним, приведем формулу для аналогичной линейной величины:. Первое выражение отражает мгновенное ускорение (dt -> 0), вторую же формулу уместно применять, если скорость изменяется равномерно за время Δt

Полученное во втором варианте ускорение называют средним

Первое выражение отражает мгновенное ускорение (dt -> 0), вторую же формулу уместно применять, если скорость изменяется равномерно за время Δt. Полученное во втором варианте ускорение называют средним.

Учитывая подобие величин, которые описывают линейное и вращательное движение, для углового ускорения можно записать:

Интерпретация этих формул точно такая же, как и для линейного случая. Единственное отличие заключается в том, что a показывает, на сколько метров в секунду изменяется скорость за единицу времени, а α — на сколько радиан в секунду изменяется угловая скорость за тот же период времени.

Найдем связь между этими ускорениями. Подставив значение для v, выраженной через ω, в любое из двух равенств для α, получим:

Отсюда следует, что чем меньше радиус вращения и больше линейное ускорение, тем больше будет величина α.

Векторные величины, характеризующие вращательное движение тела

Угловая скорость и угловое ускорение тела являются векторными величинами. Эти векторы направлены вдоль оси вращения (аксиальные векторы), а их длина определяет величину соответствующих характеристик вращательного движения. Направление векторов определяется по правилу буравчика, т. е. совпадает с направлением поступательного движения буравчика, рукоятка которого движется в том же направлении, что и тело.

Определение:Если тело участвует одновременно в нескольких вращательных движениях, то результирующая угловая скорость определяется по правилу векторного (геометрического) сложения:

Величина результирующей угловой скорости определяется по аналогии с формулой (Сложение движений):

или, если оси вращения перпендикулярны друг другу

Примечание: Результирующее угловое ускорение определяется аналогичным образом. Графически результирующую можно найти как диагональ параллелограмма скоростей или ускорений.

Характеристики вращения тела[ | код]

Кинематические характеристики | код

Вращение характеризуется углом φ{\displaystyle \varphi }, измеряющимся в градусах или радианах, угловой скоростью ω=dφdt{\displaystyle \omega ={\frac {d\varphi }{dt}}} (измеряется в рад/с) и угловым ускорением ϵ=d2φdt2{\displaystyle \epsilon ={\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}} (единица измерения — рад/с²).

При равномерном вращении (T{\displaystyle T} — период вращения),

Частота вращения — число оборотов в единицу времени.

ν=1T=ω2π,{\displaystyle \nu ={1 \over T}={\omega \over 2\pi },}

Период вращения — время одного полного оборота. Период вращения T{\displaystyle T} и его частота ν{\displaystyle \nu } связаны соотношением T=1/ν{\displaystyle T=1/\nu }.

Линейная скорость точки, находящейся на расстоянии R{\displaystyle R} от оси вращения

v=2πνR=2πRT,{\displaystyle v={2\pi \nu R}={2\pi R \over T},}

Угловая скорость вращения тела — аксиальный вектор (псевдовектор).

ω=2πν=2πT.{\displaystyle \omega ={2\pi \nu }={2\pi \over T}.}

Динамические характеристики | код

Свойства твердого тела при его вращении описываются моментом инерции твёрдого тела. Эта характеристика входит в дифференциальные уравнения, полученные из уравнений Гамильтона или Лагранжа. Кинетическую энергию вращения можно записать в виде:

E=ω2J2=2π2ν2J.{\displaystyle E={\frac {\omega ^{2}J}{2}}={2\pi ^{2}\nu ^{2}J}.}

В этой формуле момент инерции играет роль массы, а угловая скорость — роль скорости. Момент инерции выражает геометрическое распределение массы в теле и может быть найден из формулы

J=∫r2dm.{\displaystyle J=\int r^{2}dm.}

Момент инерции — физическая величина, мера инертности тела во вращательном движении. Характеризует распределение масс в теле. Различают осевой и центробежный момент инерции. Осевой момент инерции определяется равенством:

Ja=∑i=1nmiri2,{\displaystyle J_{a}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2},}

где mi{\displaystyle m_{i}} — масса, ri{\displaystyle r_{i}} — расстояние от i{\displaystyle i}-й точки до оси.

Момент импульса материальной точки

Векторное произведение радиуса-вектора траектории материальной точки массой mi на ее импульс называется моментом импульса этой точки касательно оси вращения. Направление вектора можно определить, воспользовавшись правилом правого винта.

Момент импульса материальной точки (Li) направлен перпендикулярно плоскости, проведенной через ri и υi, и образует с ними правую тройку векторов (то есть при движении с конца вектора riк υi правый винт покажет направление вектора Li).

В скалярной форме

L = miυirisin(υi,ri).

Учитывая, что при движении по кругу радиус-вектор и вектор линейной скорости для i-й материальной точки взаимно перпендикулярные,

sin(υi,ri) = 1.

Так что момент импульса материальной точки для вращательного движения примет вид

L = miυiri.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock
detector