Правильный семнадцатиугольник

Симметрия

Симметрии правильных четырнадцатиугольников. Вершины окрашены согласно их симметриям. Синие зеркала проведены через вершины, а фиолетовые — через середины сторон. Порядок группы вращений указан в центре фигуры.

Правильный четырнадцатиугольник имеет симметрию Dih14 порядка 28. Имеется 3 подгруппы диэдральной симметрии: Dih7, Dih2, Dih1, а также 4 циклических группы симметрии: Z14, Z7, Z2, Z1.

Справа на рисунке можно видеть 10 симметрий четырнадцатиугольника. Конвей использовал для обозначения симметрий буквы вместе с порядком группы. Полная симметрия правильной фигуры будет равна r28, а отсутствие симметрии отмечается как a1. Диэдральные симметрии делятся по тому, проходят они через вершины (используется буква d, от «diagonal») или через середины сторон (используется буква p, от «perpendicular»). Если же оси симметрии проходит через вершины и середины сторон, используется буква i. Циклические симметрии помечаются буквой g (от «gyration»).
Каждая подгруппа симметрии допускает одну или более степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g14 не даёт свободы, но стороны многоугольника могут рассматриваться как имеющие направление.

Применение

Семиугольная монета в 50 пенсов (150 лет Публичной библиотеке)

В Великобритании используются две монеты в форме семиугольника: 50 пенсов и 20 пенсов. Строго говоря, форма монет — криволинейный семиугольник, образующий кривую постоянной ширины, чтобы монеты плавно проходили в автоматы. Семиугольный кант аналогичной криволинейной формы имеет круглая монета номиналом в 10 киргизских сом.

Семиугольная звезда 7/2 являлась национальным символом Грузии и применялась, как элемент герба Грузии, в том числе и в советское время. В настоящее время не применяется.

Семиугольная звезда 7/3 является эмблемой компании A.P. Moller-Maersk Group.

Применение восьмиугольников

Дорожный знак «Движение без остановки запрещено»

Восьмиугольный план Купола Скалы

В странах, принявших Венскую конвенцию о дорожных знаках и сигналах (в том числе в России), а также во многих других странах, знак «Движение без остановки запрещено» имеет вид красного восьмиугольника.

Восьмиугольные формы часто используются в архитектуре. Купол Скалы имеет восьмиугольный план. Башня Ветров в Афинах — ещё один пример восьмиугольной структуры. Восьмиугольный план встречается также в архитектуре церквей, таких как Собор Святого Георгия (Аддис-Абеба), Сан-Витале (в городе Равенна, Италия), Замок Кастель-дель-Монте (Апулия, Италия), Флорентийский баптистерий и . Центральное пространство в Ахенский собор, Капелла Карла Великого имеют планы в виде правильного восьмиугольника.

Свойства диагоналей правильных многоугольников

  • Максимальное количество диагоналей правильного n{\displaystyle n}-угольника, пересекающихся в одной точке, не являющейся его вершиной, равно:
    • 2{\displaystyle 2}, если n{\displaystyle n} нечётно;
    • 3{\displaystyle 3}, если n{\displaystyle n} чётно, но не делится на 6{\displaystyle 6};
    • 5{\displaystyle 5}, если n{\displaystyle n} делится на 6{\displaystyle 6}, но не делится на 30{\displaystyle 30};
    • 5{\displaystyle 5}, если n{\displaystyle n} делится на 30{\displaystyle 30}.

Введём функцию δm(n){\displaystyle \delta _{m}(n)}, равную 1{\displaystyle 1} в случае, если n{\displaystyle n} делится на m{\displaystyle m}, и равную {\displaystyle 0} в противном случае. Тогда:

Количество точек пересечения диагоналей правильного n{\displaystyle n}-угольника равно Cn4+(−5n3+45n2−70n+24)/24⋅δ2(n)−(3n/2)⋅δ4(n)++(−45n2+262n)/6⋅δ6(n)+42n⋅δ12(n)+60n⋅δ18(n)++35n⋅δ24(n)−38n⋅δ30(n)−82n⋅δ42(n)−330n⋅δ60(n)−−144n⋅δ84(n)−96n⋅δ90(n)−144n⋅δ120(n)−96n⋅δ210(n){\displaystyle {\begin{array}{l}C_{n}^{4}+\left(-5n^{3}+45n^{2}-70n+24\right)/24\cdot \delta _{2}(n)-(3n/2)\cdot \delta _{4}(n)+\\+\left(-45n^{2}+262n\right)/6\cdot \delta _{6}(n)+42n\cdot \delta _{12}(n)+60n\cdot \delta _{18}(n)+\\+35n\cdot \delta _{24}(n)-38n\cdot \delta _{30}(n)-82n\cdot \delta _{42}(n)-330n\cdot \delta _{60}(n)-\\-144n\cdot \delta _{84}(n)-96n\cdot \delta _{90}(n)-144n\cdot \delta _{120}(n)-96n\cdot \delta _{210}(n)\end{array}}}

Где Cn4{\displaystyle C_{n}^{4}} — число сочетаний из n{\displaystyle n} по 4{\displaystyle 4}.

Количество частей, на которые правильный n{\displaystyle n}-угольник делят его диагонали, равно (n4−6n3+23n2−42n+24)/24++(−5n3+42n2−40n−48)/48⋅δ2(n)−(3n/4)⋅δ4(n)++(−53n2+310n)/12⋅δ6(n)+(49n/2)⋅δ12(n)+32n⋅δ18(n)++19n⋅δ24(n)−36n⋅δ30(n)−50n⋅δ42(n)−190n⋅δ60(n)−−78n⋅δ84(n)−48n⋅δ90(n)−78n⋅δ120(n)−48n⋅δ210(n){\displaystyle {\begin{array}{l}\left(n^{4}-6n^{3}+23n^{2}-42n+24\right)/24+\\+\left(-5n^{3}+42n^{2}-40n-48\right)/48\cdot \delta _{2}(n)-(3n/4)\cdot \delta _{4}(n)+\\+\left(-53n^{2}+310n\right)/12\cdot \delta _{6}(n)+(49n/2)\cdot \delta _{12}(n)+32n\cdot \delta _{18}(n)+\\+19n\cdot \delta _{24}(n)-36n\cdot \delta _{30}(n)-50n\cdot \delta _{42}(n)-190n\cdot \delta _{60}(n)-\\-78n\cdot \delta _{84}(n)-48n\cdot \delta _{90}(n)-78n\cdot \delta _{120}(n)-48n\cdot \delta _{210}(n)\end{array}}}

.

Площадь через квадрат

Площадь правильного восьмиугольника можно вычислить как площадь усечённого квадрата.

Площадь можно также вычислить как усечение квадрата

S=A2−a2,{\displaystyle S=A^{2}-a^{2},}

где A — ширина восьмиугольника (вторая меньшая диагональ), а a — длина его стороны. Это легко показать, если провести через противоположные стороны прямые, что даст квадрат. Легко показать, что угловые треугольники равнобедренные с основанием, равным a. Если их сложить (как на рисунке), получится квадрат со стороной a.

Если задана сторона a, то длина A равна

A=a2+a+a2=(1+2)a≈2.414a.{\displaystyle A={\frac {a}{\sqrt {2}}}+a+{\frac {a}{\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}})a\approx 2.414a.}

Тогда площадь равна:

S=((1+2)a)2−a2=2(1+2)a2≈4.828a2.{\displaystyle S=((1+{\sqrt {2}})a)^{2}-a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\approx 4.828a^{2}.}

Площадь через A (ширину восьмиугольника)

S=2(2−1)A2≈0.828A2.{\displaystyle S=2({\sqrt {2}}-1)A^{2}\approx 0.828A^{2}.}

Ещё одна простая формула площади:

 S=2aA.{\displaystyle \ S=2aA.}

Часто значение A известно, в то время как величину стороны a следует найти, как, например, при отрезании от квадратного куска материала углов с целью получения правильного восьмиугольника. Из формул выше имеем

a≈A2.414.{\displaystyle a\approx A/2.414.}

Два катета углового треугольника можно получить по формуле

e=(A−a)2.{\displaystyle e=(A-a)/2.}

Использование

Правильные треугольник, девятиугольник и восемнадцатиугольник могут полностью окружить точку на плоскости, являясь одной из 17 комбинаций правильных многоугольников с таким свойством. Однако эта комбинация не может быть использована для плоскости — треугольник и девятиугольник имеют нечётное число сторон, ни одна из этих фигур не может быть окружена чередующимися другими двумя типами многоугольников.

Правильные восемнадцатиугольники могут замощать плоскость, оставляя вогнутые шестиугольные бреши. Другое замощение использует девятиугольники и невыпуклые восьмиугольники. Путём сокращения некоторых вершин первая мозаика может быть превращена в , а вторая — в .

Правильный пятнадцатиугольник

Правильный пятнадцатиугольник представлен символом Шлефли {15}.

Правильный пятнадцатиугольник имеет внутренние углы 156° и с стороной a пятнадцатиугольник имеет площадь, задаваемую формулой

A=154a2ctgπ15=1547+25+215+65a2=15a28(3+15+25+5)≃17,6424a2.{\displaystyle {\begin{aligned}A={\frac {15}{4}}a^{2}\mathrm {ctg} \,{\frac {\pi }{15}}&={\frac {15}{4}}{\sqrt {7+2{\sqrt {5}}+2{\sqrt {15+6{\sqrt {5}}}}}}a^{2}\\&={\frac {15a^{2}}{8}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)\\&\simeq 17,6424\,a^{2}.\end{aligned}}}

Применение

Семиугольная монета в 50 пенсов (150 лет Публичной библиотеке)

В Великобритании используются две монеты в форме семиугольника: 50 пенсов и 20 пенсов. Строго говоря, форма монет — криволинейный семиугольник, образующий кривую постоянной ширины, чтобы монеты плавно проходили в автоматы.

Семиугольная звезда 7/2 являлась национальным символом Грузии и применялась, как элемент герба Грузии, в том числе и в советское время. В настоящее время не применяется.

Семиугольная звезда 7/3 является эмблемой компании A.P. Moller-Maersk Group.

Это заготовка статьи по геометрии. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

Пропорции

Углы

Центральный угол равен 360∘65537≈0,005∘≈∘′19,77508888″{\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{65537}}\approx 0{,}005^{\circ }\approx 0^{\circ }0’19{,}77508888»}.

Внутренний угол равен 65537−265537⋅180∘≈179,9945069∘=180∘−0,0054931∘{\displaystyle {\frac {65537-2}{65537}}\cdot 180^{\circ }\approx 179{,}9945069^{\circ }=180^{\circ }-0{,}0054931^{\circ }}.

Наглядное представление

Следующие соображения могут служить для иллюстрации пропорций практически непредставимой фигуры:

Отклонение центрального угла от 0°, а также отклонение внутреннего угла от 180° составляет всего лишь примерно 0,005°. Если приподнять за один конец лежащую на земле жердь длиной 104,3 метра только на один сантиметр, то она образует с землёй примерно этот угол.

Обоснование

Рассмотрим треугольник, одной стороной которого является указанная жердь, второй стороной — перпендикуляр, опущенный от приподнятого конца жерди на поверхность, где она лежала, а третьей стороной — отрезок от основания перпендикуляра до покоящегося конца жерди. Считая, что жердь подняли на один сантиметр, найдём, какой длины L{\displaystyle L} она должна быть, чтобы образовать с поверхностью угол α{\displaystyle \alpha }, равный центральному углу правильного 65537-угольника: он будет равен отношению высоты, на которую подняли один край жерди, к углу, который жердь образовала с поверхностью.

L=10 mmsin⁡(360∘65537)≈104305 mm≈104,3 m{\displaystyle L={\frac {10~{\text{mm}}}{\sin \left({\frac {360^{\circ }}{65537}}\right)}}\approx 104305~{\text{mm}}\approx 104{,}3~{\text{m}}}

  • Если нарисовать 65537-угольник с длиной одной стороны 1 см, то его наибольшая диагональ будет больше 200 м.
  • Если нарисовать 65537-угольник с длиной одной стороны 1 м, то разница между радиусами его вписанной и описанной окружностей (каждый из которых будет около 10 км) составит всего лишь около 0,024 мм.
  • Если нарисовать 65537-угольник диаметром 20 см, то длина одной его стороны окажется менее одной десятой толщины самого тонкого человеческого волоса.

Литература

  • Henry Adams. Cassell’s Engineer’s Handbook: Comprising Facts and Formulæ, Principles and Practice, in All Branches of Engineering. — D. McKay, 1907. — С. 528.
  • John B. Conway. Mathematical Connections: A Capstone Course. — American Mathematical Society, 2010. — С. 31. — ISBN 9780821849798.
  • L. Christine Kinsey, Teresa E. Moore. Symmetry, Shape, and Surfaces: An Introduction to Mathematics Through Geometry. — Springer, 2002. — С. 86. — ISBN 9781930190092.
  • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon // The Symmetries of Things. — Wellesley, MA: A K Peters, Ltd., 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5.
  • Branko Grünbaum. The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History / Richard K.Guy, Robert E. Woodrow. — The Mathematical Association of America, 1994. — (MAA Spectrum). — ISBN 0-88385-516-X.
  • Elmslie William Dallas. The Elements of Plane Practical Geometry, Etc. — John W. Parker & Son, 1855.

Восьмиугольник

Другие восемнадцатиугольники фигуры

Звёздчатые 18{\displaystyle 18}-угольники имеют символы {18n}{\displaystyle \{18/n\}}. Существует два правильных звёздчатых многоугольника: 185{\displaystyle {18/5}} и {187}{\displaystyle \{18/7\}}. Они используют те же самые вершины, но соединяют каждую пятую или седьмую вершину. Имеются также составные восемнадцатиугольники: {182}{\displaystyle \{18/2\}} эквивалентен 2{9}{\displaystyle 2\{9\}} (двум девятиугольникам), {183}{\displaystyle \{18/3\}} эквивалентен 3{6}{\displaystyle 3\{6\}} (трём шестиугольникам), {184}{\displaystyle \{18/4\}} и {188}{\displaystyle \{18/8\}} эквивалентны 2{92}{\displaystyle 2\{9/2\}} и 2{94}{\displaystyle 2\{9/4\}} (двум эннеаграммам), {186}{\displaystyle \{18/6\}} эквивалентен 6{3}{\displaystyle 6\{3\}} (6{\displaystyle 6} равносторонним треугольникам), и, наконец, {189}{\displaystyle \{18/9\}} эквивалентен 9{2}{\displaystyle 9\{2\}} (девять двуугольников).

Составные и звёздчатые многоугольники
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Вид Выпуклый многоугольник Составные Звёздчатый многоугольник Составной Звёздчатый многоугольник Составной
Рисунок

{181}{\displaystyle \{18/1\}} = {18}{\displaystyle \{18\}}

{182}{\displaystyle \{18/2\}} = 2{9}{\displaystyle 2\{9\}}

{183}{\displaystyle \{18/3\}} = 3{6}{\displaystyle 3\{6\}}

{184}{\displaystyle \{18/4\}} = 2{92}{\displaystyle 2\{9/2\}}

{185}{\displaystyle \{18/5\}}

{186}{\displaystyle \{18/6\}} = 6{3}{\displaystyle 6\{3\}}

{187}{\displaystyle \{18/7\}}

{188}{\displaystyle \{18/8\}} = 2{94}{\displaystyle 2\{9/4\}}

{189}{\displaystyle \{18/9\}} = 9{2}{\displaystyle 9\{2\}}

Внутренний угол 160∘{\displaystyle 160^{\circ }} 140∘{\displaystyle 140^{\circ }} 120∘{\displaystyle 120^{\circ }} 100∘{\displaystyle 100^{\circ }} 80∘{\displaystyle 80^{\circ }} 60∘{\displaystyle 60^{\circ }} 40∘{\displaystyle 40^{\circ }} 20∘{\displaystyle 20^{\circ }} ∘{\displaystyle 0^{\circ }}

Более глубокие усечения правильного многоугольника и правильной эннеаграммы дают равноугольные (вершинно-транзитивные) промежуточные восемнадцатиугольники с находящимися на равном расстоянии вершинами и двумя длинами сторон. Другие усечения дают двойное покрытие: t{98}={188}=2{94},t{94}={184}=2{92},t{92}={182}=2{9}{\displaystyle \mathrm {t} \{9/8\}=\{18/8\}=2\{9/4\},\;\mathrm {t} \{9/4\}=\{18/4\}=2\{9/2\},\;\mathrm {t} \{9/2\}=\{18/2\}=2\{9\}}.

Вершинно-транзитивные усечения девятиугольника и эннеаграмм
Квазиправильные Изогональные КвазиправильныеДвойное покрытие

t9=18{\displaystyle \mathrm {t} {9}={18}}

t98=188{\displaystyle \mathrm {t} {9/8}={18/8}}=294{\displaystyle =2{9/4}}

t95=185{\displaystyle \mathrm {t} {9/5}={18/5}}

t94=184{\displaystyle \mathrm {t} {9/4}={18/4}}=292{\displaystyle =2{9/2}}

t97=187{\displaystyle \mathrm {t} {9/7}={18/7}}

t92=182{\displaystyle \mathrm {t} {9/2}={18/2}}=29{\displaystyle =2{9}}

Многоугольники Петри

Правильный восемнадцатиугольник является многоугольником Петри для ряда политопов, что показано в косоортогональных проекциях на :

Восемнадцатиугольные многоугольники Петри
A17 B9 D10 E7

17-симплекс

Эннеракт

>

История

Построение циркулем и линейкой правильного многоугольника с n{\displaystyle n} сторонами оставалось проблемой для математиков вплоть до XIX века. Такое построение идентично разделению окружности на n{\displaystyle n} равных частей, так как, соединив между собой точки, делящие окружность на части, можно получить искомый многоугольник.

Евклид в своих «Началах» занимался построением правильных многоугольников в книге IV, решая задачу для n=3,4,5,6,15{\displaystyle n=3,4,5,6,15}. Кроме этого, он уже определил первый критерий построимости многоугольников: хотя этот критерий и не был озвучен в «Началах», древнегреческие математики умели построить многоугольник с 2m{\displaystyle 2^{m}} сторонами (при целом m>1{\displaystyle m>1}), имея уже построенный многоугольник с числом сторон 2m−1{\displaystyle 2^{m-1}}: пользуясь умением разбиения дуги на две части, из двух полуокружностей мы строим квадрат, потом правильный восьмиугольник, правильный шестнадцатиугольник и так далее. Кроме этого, в той же книге Евклид указывает и второй критерий построимости: если известно, как строить многоугольники с r{\displaystyle r} и s{\displaystyle s} сторонами, и r{\displaystyle r} и s{\displaystyle s} взаимно простые, то можно построить и многоугольник с r⋅s{\displaystyle r\cdot s} сторонами. Это достигается построением многоугольника с s{\displaystyle s} сторонами и многоугольника с r{\displaystyle r} сторонами так, чтобы они были вписаны в одну окружность и чтобы одна вершина у них была общей — в таком случае некоторые две вершины этих многоугольников будут являться соседними вершинами rs{\displaystyle rs}-угольника. Синтезируя эти два способа, можно прийти к выводу, что древние математики умели строить правильные многоугольники с 2m⋅3{\displaystyle 2^{m}\cdot 3}, 2m⋅5{\displaystyle 2^{m}\cdot 5} и 2m⋅3⋅5{\displaystyle 2^{m}\cdot 3\cdot 5} сторонами при любом целом неотрицательном m{\displaystyle m}.

Средневековая математика почти никак не продвинулась в этом вопросе. Лишь в 1796 году Карлу Фридриху Гауссу удалось доказать, что если число сторон правильного многоугольника равно простому числу Ферма, то его можно построить при помощи циркуля и линейки. На сегодняшний день известны следующие простые числа Ферма: 3,5,17,257,65537{\displaystyle 3,5,17,257,65537}. Вопрос о наличии или отсутствии других таких чисел остаётся открытым. Гаусс, в частности, первым смог доказать возможность построения правильного 17{\displaystyle 17}-угольника, а под конец жизни завещал выбить его на своём надгробии, однако скульптор отказался выполнять столь сложную работу.

Из результата Гаусса мгновенно следовало, что правильный многоугольник возможно построить, если число его сторон равно 2kp1p2⋯ps{\displaystyle 2^{k}{p_{1}}{p_{2}}\cdots {p_{s}}}, где k{\displaystyle {k}} — целое неотрицательное число, а pj{\displaystyle {p_{j}}} — попарно различные простые числа Ферма. Гаусс подозревал, что это условие является не только достаточным, но и необходимым, но впервые это было доказано Пьером-Лораном Ванцелем в 1836 году. Итоговая теорема, совмещающая оба результата, называется Теоремой Гаусса-Ванцеля.

Последними результатами в области построения правильных многоугольников являются явные построения 17-, 257- и 65537-угольника. Первое было найдено Йоханнесом Эрхингером в 1825 году, второе — Фридрихом Юлиусом Ришело в 1832 году, а последнее — Иоганном Густавом Гермесом в 1894 году.

Построение четырнадцатиугольника

Правильный четырнадцатиугольник нельзя построить с помощью циркуля и линейки. Однако, его можно построить с помощью метода невсиса, если использовать его вместе с трисекцией угла, или с линейкой с метками как показано на следующих двух примерах.

Четырнадцатиугольник в заданной окружности: Анимация (1м 47с) с помощью метода невсиса построения четырнадцатиугольника в окружности радиуса OA¯=6{\displaystyle {\overline {OA}}=6}, опираясь на трисекцию угла с помощью томагавка.

Четырнадцатиугольник с заданной длиной стороны: Анимация (1м 20с) построения с помощью метода невсиса с применением маркированой линейки, согласно Дэвиду Джонсону Лейску (Крокетт Джонсону (англ.)русск.)

Приблизительная конструкция четырнадцатиугольника.

Построение

Точное построение

Проводим большую окружность k₁ (будущую описанную окружность семнадцатиугольника) с центром O.
Проводим её диаметр AB.
Строим к нему перпендикуляр m, пересекающий k₁ в точках C и D.
Отмечаем точку E — середину DO.
Посередине EO отмечаем точку F и проводим отрезок FA.
Строим биссектрису w₁ угла ∠OFA.
Строим w₂ — биссектрису угла между m и w₁, которая пересекает AB в точке G.
Проводим s — перпендикуляр к w₂ из точки F.
Строим w₃ — биссектрису угла между s и w₂. Она пересекает AB в точке H.
Строим окружность Фалеса (k₂) на диаметре HA. Она пересекается с CD в точках J и K.
Проводим окружность k₃ с центром G через точки J и K. Она пересекается с AB в точках L и N

Здесь важно не перепутать N с M, они расположены очень близко.
Строим касательную к k₃ через N.

Точки пересечения этой касательной с исходной окружностью k₁ — это точки P₃ и P₁₄ искомого семнадцатиугольника. Если принять середину получившейся дуги за P₀ и отложить дугу P₀P₁₄ по окружности три раза, все вершины семнадцатиугольника будут построены.

Примерное построение

Следующее построение хоть и приблизительно, но гораздо более удобно.

  1. Ставим на плоскости точку M, строим вокруг неё окружность k и проводим её диаметр AB;
  2. Делим пополам радиус AM три раза по очереди по направлению к центру (точки C, D и E).
  3. Делим пополам отрезок EB (точка F).
  4. строим перпендикуляр к AB в точке F.

Вкратце: строим перпендикуляр к диаметру на расстоянии 9/16 диаметра от B.

Точки пересечения последнего перпендикуляра с окружностью являются хорошим приближением для точек P₃ и P₁₄.

При этом построении получается относительная ошибка в 0,83%. Углы и стороны получаются таким образом немного больше, чем нужно. При радиусе 332,4 мм сторона получается длиннее на 1 мм.

Симметрия

Группы симметрии правильного восемнадцатиугольника. Симметричные вершины окрашены в одинаковые цвета. Голубые зеркала проведены через вершины, фиолетовые — через стороны. Порядки групп вращений даны в центре.

Правильный восемнадцатиугольник имеет диэдральную группу D18{\displaystyle \mathrm {D} _{18}} порядка 36{\displaystyle 36}. Имеется 5{\displaystyle 5} типов подгрупп диэдральной симметрии: D9{\displaystyle \mathrm {D} _{9}}, (D6{\displaystyle \mathrm {D} _{6}}, D3{\displaystyle \mathrm {D} _{3}}) и (D2{\displaystyle \mathrm {D} _{2}}, D1{\displaystyle \mathrm {D} _{1}}), а также 6 циклических групп симметрии: (Z18{\displaystyle \mathrm {Z} _{18}}, Z9{\displaystyle \mathrm {Z} _{9}}), (Z6{\displaystyle \mathrm {Z} _{6}}, Z3{\displaystyle \mathrm {Z} _{3}}) и (Z2{\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}, Z1{\displaystyle \mathrm {Z} _{1}}).

На рисунке справа можно видеть 15{\displaystyle 15} подгрупп симметрии восемнадцатиугольника. Конвей использовал для их обозначения буквы вместе с порядком группы. Полная симметрия правильной фигуры будет равна r36{\displaystyle \mathrm {r} 36}, а отсутствие симметрии (то есть тривиальная группа) отмечается как a1{\displaystyle \mathrm {a} 1}. Диэдральные симметрии делятся по тому, проходят ли их оси через вершины (используется буква d{\displaystyle \mathrm {d} }, от «diagonal») или через середины сторон (используется буква p{\displaystyle \mathrm {p} }, от «perpendicular»). Если же оси симметрии проходят и через вершины, и через середины сторон, используется буква i{\displaystyle \mathrm {i} }. Циклические группы отмечаются буквой g{\displaystyle \mathrm {g} } (от «gyration»).

Все эти подгруппы могут являться диэдральными группами неправильных восемнадцатиугольников, и лишь подгруппа g18{\displaystyle \mathrm {g} 18} не даёт свободы в этом отношении, если только стороны многоугольника не рассматриваются как имеющие направление, то есть как векторы.

Симметрия

11 симметрий правильного восьмиугольника. Линии зеркальных отражений показаны цветом — синие линии проходят через вершины, фиолетовые проходят через середины рёбер, число поворотов указано в центре. Вершины раскрашены согласно симметрии.

Правильный восьмиугольник имеет группу симметрии Dih8 порядка 16. Имеется 3 диэдральные подгруппы — Dih4, Dih2 и Dih1, а также 4 циклические подгруппы — Z8, Z4, Z2 и Z1. Последняя подгруппа подразумевает отсутствие симметрии.

Правильный восьмиугольник имеет 11 различных симметрий. Джон Конвей обозначил полную симметрию как r16 . Диэдральные симметрии делятся на симметрии, проходящие через вершины (обозначены как d — от diagonal), или через рёбра (обозначены как p — от perpendiculars). Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g и для них указан порядок группы вращения. Полная симметрия правильного восьмиугольника обозначена как r16 а отсутствие — как a1.

Примеры восьмиугольников по их симметриям

r16

d8

g8

p8

d4

g4

p4

d2

g2

p2

a1

На рисунке слева показаны типы симметрий восьмиугольников. Наиболее общие симметрии восьмиугольников — p8, восьмиугольник, построенный четырьмя зеркалами и имеющий перемежающиеся длинные короткие стороны, и d8, изотоксальный восьмиугольник, имеющий рёбра равной длины, но вершины имеют два разных внутренних угла. Эти две формы являются друг другу и имеют порядок, равный половине симметрии правильного восьмиугольника.

Каждая подгруппа симметрии даёт одну или более степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g8 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как имеющая ориентированные рёбра.

Связанные фигуры

Четырнадцатиугольник имеет 14 сторон и представляется символом {14/n}. Имеется два правильных звёздчатых многоугольника — {14/3} и {14/5}, использующих те же самые вершины, но соединённые через три или через пять точек. Существует также три составных четырнадцатиугольника — {14/2} сводится к 2{7} (два семиугольника), а {14/4} и {14/6} сводятся к 2{7/2} и 2{7/3} (две различные гептаграммы), и, наконец, {14/7} сводится к семи двуугольникам.

Составные и звёздчатые многоугольники
n 1 2 3 4 5 6 7
Вид Правильный Составной Звёздчатый Составной Звёздчатый Составной
Рисунок

{14/1} = {14}

{14/2} = 2{7}

{14/3}

{14/4} = 2{7/2}

{14/5}

{14/6} = 2{7/3}

{14/7} or 7{2}

Внутренний угол ≈154.286° ≈128.571° ≈102.857° ≈77.1429° ≈51.4286° ≈25.7143°

Более глубокие усечения правильного семиугольника и гептаграмм может дать изогональные (вершинно-транзитивные) промежуточные формы с равным расстоянием между вершинами и двумя длинами рёбер. Другие усечения могут дать многоугольники двойного накрытия 2{p/q}, а именно: t{7/6}={14/6}=2{7/3}, t{7/4}={14/4}=2{7/2} и t{7/2}={14/2}=2{7}.

Изогональные усечения семиугольников и гептаграмм
Квазиправильный Изогональный КвазиправильныйДвойное накрытие

t{7}={14}

{7/6}={14/6}=2{7/3}

t{7/3}={14/3}

t{7/4}={14/4}=2{7/2}

t{7/5}={14/5}

t{7/2}={14/2}=2{7}

Литература

  • Pierre Wantzel. Recherches sur les moyens de Reconnaître si un Problème de géométrie peau se résoudre avec la règle et le compas // Journal de Mathématiques. — 1837. — С. 366–372.
  • W. W. Rose Ball, H. S. M.Coxeter. Mathematical recreations and Essays. — Thirteenth edition. — New York: The MacMillan company, 1947. — С. 141.

    Перевод: Математические эссе и развлечения / перевод Н.И. Плужниковой, А.С.Попова, Г.М. Цукерман, под редакцией И.М.Яглома. — Москва: «Мир», 1986. — С. 156.

  • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon // The Symmetries of Things. — Chaim Goodman-Strauss, 2008. — С. 275—278. — ISBN 978-1-56881-220-5.
  • Branko Grünbaum. Metamorphoses of polygons // The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History. — 1994.
  • Jay Bonner. Islamic geometric pattens. — Springer, 2017. — ISBN 978-1-4419-0216-0.
  • Nielsen D. Design & Nature V: Comparing Design in Nature with Science and Engineering // Fifth international conference on comapring design in nature with science engineering / Angelo Carpi, C. A. Brebbia. — WIT Press, 2010. — ISBN 978-1-84564-454-3.
  • Вёрман К. История искусств всех времен и народов. — Москва, Берлин: Директ-медиа, 2015. — Т. 3 Книга2-3. — ISBN 978-5-4475-3827-9.

Площадь через квадрат

Площадь правильного восьмиугольника можно вычислить как площадь усечённого квадрата.

Площадь можно также вычислить как усечение квадрата

S=A2−a2,{\displaystyle S=A^{2}-a^{2},}

где A — ширина восьмиугольника (вторая меньшая диагональ), а a — длина его стороны. Это легко показать, если провести через противоположные стороны прямые, что даст квадрат. Легко показать, что угловые треугольники равнобедренные с основанием, равным a. Если их сложить (как на рисунке), получится квадрат со стороной a.

Если задана сторона a, то длина A равна

A=a2+a+a2=(1+2)a≈2.414a.{\displaystyle A={\frac {a}{\sqrt {2}}}+a+{\frac {a}{\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}})a\approx 2.414a.}

Тогда площадь равна:

S=((1+2)a)2−a2=2(1+2)a2≈4.828a2.{\displaystyle S=((1+{\sqrt {2}})a)^{2}-a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\approx 4.828a^{2}.}

Площадь через A (ширину восьмиугольника)

S=2(2−1)A2≈0.828A2.{\displaystyle S=2({\sqrt {2}}-1)A^{2}\approx 0.828A^{2}.}

Ещё одна простая формула площади:

 S=2aA.{\displaystyle \ S=2aA.}

Часто значение A известно, в то время как величину стороны a следует найти, как, например, при отрезании от квадратного куска материала углов с целью получения правильного восьмиугольника. Из формул выше имеем

a≈A2.414.{\displaystyle a\approx A/2.414.}

Два катета углового треугольника можно получить по формуле

e=(A−a)2.{\displaystyle e=(A-a)/2.}

Применение восьмиугольников

Дорожный знак «Движение без остановки запрещено»

Восьмиугольный план Купола Скалы

В странах, принявших Венскую конвенцию о дорожных знаках и сигналах (в том числе в России), а также во многих других странах, знак «Движение без остановки запрещено» имеет вид красного восьмиугольника.

Восьмиугольные формы часто используются в архитектуре. Купол Скалы имеет восьмиугольный план. Башня Ветров в Афинах — ещё один пример восьмиугольной структуры. Восьмиугольный план встречается также в архитектуре церквей, таких как Собор Святого Георгия (Аддис-Абеба), Сан-Витале (в городе Равенна, Италия), Замок Кастель-дель-Монте (Апулия, Италия), Флорентийский баптистерий и . Центральное пространство в Ахенский собор, Капелла Карла Великого имеют планы в виде правильного восьмиугольника.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock
detector