Расчет лобовой балки в сборной лестнице по металлическим косоурам

Изгиб: определение внутренних усилий

2010-03-16

Изгиб — (англ. ) вид деформации, при котором происходит искривление осей прямых брусьев (балок) или изменение кривизны осей кривых брусьев. Брус, работающий на изгиб, называется балкой. Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса изгибающих моментов. Прямой изгиб возникает в случае, когда изгибающий момент в данном поперечном сечении бруса действует в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей инерции этого сечения. В случае, когда плоскость действия изгибающего момента в данном поперечном сечении бруса не проходит ни через одну из главных осей инерции этого сечения, называется косым.

Если при прямом или косом изгибе в поперечном сечении бруса действует только изгибающий момент, то соответственно имеется чистый прямой или чистый косой изгиб. Если в поперечном сечение действует также и поперечная сила, то имеется поперечный прямой или поперечный косой изгиб.

Часто термин «прямой» в названии прямого чистого и прямого поперечного изгиба не употребляют и их называют соответственно чистым изгибом и поперечным изгибом.

Дифференциальные зависимости при изгибе

$$q = – {dQ _y\over dz}; \qquad
Q _y = {dM_x\over dz} $$

Из этих уравнений следует
$$q = – {d^2M _x\over dz^2} $$

Здесь ось z направлена вдоль центральной оси балки.

Правило знаков

Поперечная сила считается положительной, если она стремится повернуть элемент балки по ходу часовой стрелки.
При построении эпюры поперечной силы положительные значения поперечной силы откладываются вверх от горизонтальной базовой линии, а отрицательные – вниз.

Изгибающий момент принимается положительным, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части, изгибает элемент балки так, что нижние волокна оказываются растянутыми, т.е. ось балки искривляется выпуклостью вниз.

Нужно учесть, что при построении эпюры изгибающего момента в строительных и транспортных ВУЗах принято откладывать положительный момент вниз ( со стороны растянутого волокна), а в машиностроительных ВУЗах — вверх (положительный момент откладывается со стороны сжатого волокна).

Общий ход определения усилий и построения эпюр

1. Определяем опорные реакции
2. Намечаем характерные сечения балки.
3. Определяем поперечную силу и изгибающий момент в каждом характерном сечении.
4. По найденным значениям поперечной силы и изгибающих моментов строим эпюры .

Правила контроля правильности эпюр Q и M (Q_y и M_x)

1. Эпюра Q_y является прямолинейной на всех участках.
2. Эпюра M (M_x) является криволинейной (квадратная парабола) на участке под равномерно распределенной нагрузкой, и прямолинейная на всех остальных участках.
3. Под точкой приложения сосредоточенной силы (реакции) на эпюре Q_y обязательно должен быть скачок (разрыв) на величину этой силы (реакции). Аналогично, под точкой приложения сосредоточенного момента на эпюре M_x обязательно будет скачок на величину момента.
4. Если на участке под распределенной нагрузкой эпюра Q_y пересекает ось, то эпюра M_x в этом сечении имеет экстремум.
5. На участках с поперечной силой одного знака эпюра моментов M_x имеет одинаковую монотонность. Так, если Q_y > 0 эпюра моментов убывает слева направо; при Q_y > 0 эпюра M_x возрастает слева направо.
6. Порядок линии на эпюре Q_y всегда на единицу меньше, чем на эпюре изгибающих моментов. То есть, если эпюра моментов M_x – квадратная парабола, то эпюра поперечных сил Q_y на этом участке – наклонная прямая; если эпюра M_x – наклонная прямая, то эпюра Q_y на этом участке – прямая, параллельная оси; если M_x постоянная (прямая, параллельная оси), то на этом участке Q_y = 0.

1 Если эпюра M строится на растянутых волокнах, то выпуклость кривой направлена по направлению распределенной нагрузки. И выпуклость кривой обращена навстречу нагрузке, если эпюра M строится на сжатых волокнах.

2 Если эпюра M строится на растянутых волокнах.

Расчетные данные для профилированных листов

При расчете кровли или перекрытия, выполняемых с использованием профилированных листов необходимо знать расчетные характеристики для профилированных листов, такие как масса погонного метра, площадь сечения, момент сопротивления  или момент инерции. Если известны основные геометрические размеры профилированного листа, то никакой особой проблемы при определении указанных параметров нет, но времени на такие расчеты может потребоваться не мало, поэтому при использовании профилированных листов, имеющих такие же параметры, как и у приводимых ниже, можно использовать справочные значения из соответствующих таблиц.

Устройство перекрытия по деревянным балкам

Установка деревянных балок перекрытия позволяет решить такие задачи:

1. достичь необходимых показателей прочности и жесткости перекрытия;
2. обеспечить соответствие звукоизоляции и сопротивления теплопередаче уровню необходимому для энергосбережения;
3. выдержать соответствие установленным нормативам показателей паро- и воздухопроницания.

Выбор балки для межэтажных перекрытий:

Балки перекрытия из бруса. Чаще всего для изготовления балок выбирают брус прямоугольного сечения. Высота бруса должна находится в пределах 140-240 мм, а толщина 50-160 мм. При этом выдерживается правило: толщина балки составляет не менее 1/24 от ее длины. Профессионалы отмечают, что большая прочность присуща деревянной балке с соотношением сторон 7:5.

Балки перекрытия из бревна. Экономически более выгодное решение. Бревно обладает большой стойкостью к нагрузкам, но и низкой стойкостью к изгибу. Бревно пригодно для использования только если выдержано в сухих условиях не менее одного года.

Балки перекрытия из досок. Использование доски приводит к уменьшению потребляемого для устройства перекрытия количества пиломатериалов. Но, стоит отметить, что в данном случае понижается устойчивость перекрытия к огню, долговечность и звукоизоляция. Обычно доска используется при строительстве чердачного перекрытия. Чтобы усилить доски можно воспользоваться приемом — срастить вместе две доски по длине. Тогда суммарное сечение будет соответствовать уровню нагрузки. Такая конструкция может выдерживать нагрузку в 2 раза большую, нежели бруса или две доски, уложенные вплотную друг к другу. В данном случае крепление осуществляется саморезами или гвоздями, зафиксированными в шахматном порядке с шагом 20 см.

Рекомендуем! Подробное описание деревянных балок перекрытия — типы, виды, расчет балки на изгиб, прочность и нагрузку.

Сечение балок деревянного перекрытия

Напрямую зависит от величины предполагаемой нагрузки на балки. Нагрузку делят на постоянную, создаваемую полом, мебелью, и переменную, зависит от количества одновременно находящихся на перекрытии людей и предметов.

Способ монтажа деревянных балок перекрытия

Монтаж цельных деревянных балок Укладка цельных деревянных балок.

В данном случае балки укладываются без сращивания. Чтобы минимизировать прогиб, нужно укладывать их вдоль более короткой стены. Таким образом, количество балок увеличится, но длина каждой отдельной балки уменьшится.

Монтаж усиленных (срощенных) балок Укладка усиленными (срощенными) балками.

Этот способ монтажа предполагает монтаж стыка на внутренней стене постройки.

Укладка балок короткими прогонами Укладка короткими прогонами.

На жаргоне строителей их называют разменниками. По сути, это балки, уложенные перпендикулярно к продольным балкам. Служат для усиления перекрытия.

Схема укладки балок короткими прогонами

Материал подготовлен для сайта www.moydomik.net

Следует учесть, что устройство перекрытия по деревянным балкам будет надежным при условии правильного выбора породы дерева. Так, не подходят для этого вида работ лиственные породы. Причиной этому является плохая устойчивость на изгиб, а вот древесина хвойных пород подходит идеально. Главное, чтобы она была очищена от коры и обработана антисептическим раствором.

Плюсы деревянных балок перекрытия:

• малый вес. Это позволяет уменьшить нагрузку на стены и фундамент дома, упростить транспортировку и облегчить процесс монтажа;
• возможность выполнять работу вдвоем, своими руками, без привлечения специальной техники;
• доступность и сравнительно низкая стоимость;
• возможность уложить изоляцию;
• высокая скорость проведения работ.

Минусы деревянных балок перекрытия:

ограничения по длине закрываемого пролета. Длина деревянных балок не превышает 6 000 мм, а закрывать они могут максимум 4 500 мм. без установки дополнительной вертикальной опоры;

потребность в дополнительной защите древесины от гниения, биологического разрушения и расколов;

зыбкость. Деревянная балка может «играть» при перемещении по ней людей и создавать дополнительный шум. Требуется устройство дополнительной звукоизоляции.

Расчет прогибов балки

Посмотрим, как пользоваться методом начальных параметров на примере простой балки, которая загружена всевозможными типами нагрузок, чтобы максимально охватить все тонкости этого метода:

Для расчета нужно знать все внешние нагрузки, действующие на балку, в том числе и реакции, возникающие в опорах.

Далее вводим систему координат, с началом в левой части балки (точка А):

Распределенная нагрузка

Метод начальных параметров, который будем использовать чуть позднее, работает только в том случае, когда распределенная нагрузка доходит до крайнего правого сечения, наиболее удаленного от начала системы координат. Конкретно, в нашем случае, нагрузка обрывается и такая расчетная схема неприемлема для дальнейшего расчета.

Если бы нагрузка была приложена вот таким способом:

То можно было бы сразу приступать к расчету перемещений. Нам же потребуется использовать один хитрый прием – ввести дополнительные нагрузки, одна из которых будет продолжать действующую нагрузку q, другая будет компенсировать это искусственное продолжение. Таким образом, получим эквивалентную расчетную схему, которую уже можно использовать в расчете методом начальных параметров:

Приступим непосредственно к самому расчету прогиба балки. Рассмотрим наиболее интересное сечение в середине пролета, очевидно, что это сечение прогнется больше всех и при расчете на жесткость такой балки, рассчитывалось бы именно это сечение. Обзовем его буквой – C:

Относительно системы координат записываем граничные условия. Учитывая способ закрепления балки, фиксируем, что прогибы в точках А и В равны нулю, причем важны расстояния от начала координат до опор:

Записываем уравнение метода начальных параметров для сечения C:

Произведение жесткости балки EI и прогиба сечения C будет складываться из произведения EI и прогиба сечения в начале системы координат, то есть сечения A:

Напомню, E – это модуль упругости первого рода, зависящий от материала из которого изготовлена балка, I – это момент инерции, который зависит от формы и размеров поперечного сечения балки. Также учитывается угол поворота поперечного сечения в начале системы координат, причем угол поворота дополнительно умножается на расстояние от рассматриваемого сечения до начала координат:

Учет внешней нагрузки

И, наконец, нужно учесть внешнюю нагрузку, но только ту, которая находится левее рассматриваемого сечения C. Здесь есть несколько особенностей:

Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки, которые направленны вверх, то есть совпадают с направлением оси y, в уравнении записываются со знаком «плюс». Если они направленны наоборот, соответственно, со знаком «минус»:

Моменты, направленные по часовой стрелке – положительные, против часовой стрелки – отрицательные:

Все сосредоточенные моменты нужно умножать дробь:

Все сосредоточенные силы нужно умножать дробь:

Начало и конец распределенных нагрузок нужно умножать на дробь:

Формулы прогибов

С учетом всех вышеописанных правил запишем окончательное уравнение для сечения C:

Поэтому, чтобы найти прогиб, составим второе уравнение для сечения B, из которого можно определить угол поворота сечения A. Заодно закрепим пройденный материал:

Выражаем угол поворота:

Подставляем это значение в наше первое уравнение и находим искомое перемещение:

Вычисление прогиба

Значение получили в общем виде, так как изначально не задавались тем, какое поперечное сечение имеет рассчитываемая балка. Представим, что металлическая балка имеет двутавровое поперечное сечение №30. Тогда:

Расчет железобетонной плиты перекрытия.

Монолитные железобетонные плиты перекрытия, не смотря на большое количество готовых плит, по-прежнему востребованы. Особенно, если это свой дом с неповторимой планировкой, где все комнаты имеют разные размеры или строительство ведется без использования подъемных кранов. В таких случаях устройство монолитной железобетонной плиты перекрытия позволяет значительно сократить расходы на материалы или их доставку и монтаж, однако при этом больше времени уйдет на подготовительные работы, в числе которых устройство опалубки. Однако людей, затевающих бетонирование перекрытия, отпугивает не это. Сделать опалубку, заказать арматуру и бетон сейчас не проблема, проблема в том, как определить какой именно бетон и какая арматура для этого нужны.

Данная статья не является руководством к действию, а носит чисто информационный характер. Все тонкости расчета железобетонных конструкций строго нормированы СНиП 52-01-2003 «Бетонные и железобетонные конструкции. Основные положения» и сводом правил СП 52-101-2003 «Бетонные и железобетонные конструкции без предварительного напряжения арматуры» по всем вопросам расчета железобетонных конструкций следует обращаться именно к этим документам, мы же далее рассмотрим пример расчета железобетонной плиты согласно рекомендаций указанных норм и правил.

Нормальные напряжения. Формула Навье

При изгибе происходит искривление оси балки. При этом часть сечения подвергается деформациям растяжения, другая часть –деформациям сжатия. Между этими частями находится нейтральный слой, продольные деформации в котором равны нулю. Таким образом, при изгибе нейтральный слой не изменяет своей длины.

Принимаем гипотезы:

– гипотеза плоских сечений;

– продольные волокна не давят друг на друга;

– напряжения и деформации распределяются равномерно по ширине сечения.

Абсолютное удлинение слоя, который находится на расстоянии $y$ от нейтрального слоя

$\Delta dx = \left( {\rho  + y} \right) \cdot d\varphi  — \rho  \cdot d\varphi  = y \cdot d\varphi $.

Относительное удлинение точек на расстоянии $y$ от нейтрального слоя

$\varepsilon \left( y \right) = \frac{{\Delta dx}}{{dx}} = \frac{{y \cdot d\varphi }}{{\rho  \cdot d\varphi }} = \frac{y}{\rho }$.

$\varepsilon \left( y \right) = \frac{y}{\rho }$ – закон Гука при изгибе.

Нормальные напряжения

$\sigma  = E\varepsilon  = E\frac{y}{\rho }$.

Таким образом, продольные напряжения и деформации точек балки при изгибе прямо пропорциональны их расстоянию от нейтрального слоя.

При этом неизвестным остается положение нейтрального слоя. Для его определения воспользуемся тем фактом, что при изгибе в сечении не возникает продольной силы ($N = 0$).

$N = \int\limits_A^{} \sigma  \,dA = \int\limits_A^{} {E\frac{y}{\rho }} \,dA = \frac{E}{\rho }\int\limits_A^{} y \,dA = \frac{E}{\rho } \cdot {S_z} = 0$,

где ${S_z}$ – статический момент площади сечения относительно оси $z$.

Как следствие, ${S_z} = 0$, то есть ось $z$ должно быть центральной, то есть нейтральный слой проходит через центральные оси сечений.

Запишем выражение изгибающего момента ${M_z}$ в сечении в зависимости от напряжений $\sigma $. На элементарной площадке $dA$ возникает усилие $dF = \sigma dA$. Момент от этого усилия относительно оси $z$ (оси изгиба)

$dM = dF \cdot y$.

Интегрируем по площади сечения

${M_z} = \int\limits_A {dM}  = \int\limits_A {\sigma  \cdot ydA}  = \int\limits_A {\frac{E}{\rho }y \cdot ydA}  = \frac{E}{\rho }\int\limits_A {{y^2}dA}  = \frac{E}{\rho }{I_z}$,

где ${I_z} = \int\limits_A {{y^2}dA} $ – момент инерции сечения относительно оси изгиба.

$$\frac{1}{\rho } = \frac{M_z}{E\,{I_z}}$$,

где $\frac{1}{\rho }$ – кривизна балки;

$E\,{I_z}$ – жесткость сечения при изгибе.

Нормальные напряжения

$\sigma  = \frac{1}{\rho } \cdot E \cdot y = \frac{{{M_z}}}{{E\,{I_z}}} \cdot E \cdot y = \frac{{{M_z}}}{{{I_z}}}y$.

Таким образом, нормальные напряжения при изгибе определяются как

$$\sigma  = \frac{{{M_z}}}{{{I_z}}}y$$ – формула Навье

Максимальные нормальные напряжения в сечении будут возникать в наиболее удаленных от оси изгиба точках сечения.

$${\sigma _{\max }} = \frac{{{M_z}}}{{{I_z}}} \cdot {y_{_{\max }}} = \frac{{{M_z}}}{{{W_z}}}$$,

где ${W_z} = \frac{{{I_z}}}{{{y_{\max }}}}$ – момент сопротивления сечения относительно оси изгиба.

Расчет на жесткость

Следующим этапом расчетов является определение жесткости полученного материала, то есть максимальное изменение его положения (прогиба) от действия расчетных нагрузок.

При исчислении ориентируются на предельно допустимую величину, равную 1/250 от длины балки, и в нашем случае значение составляет 450/250 = 1,8 см.

Таким образом, прогиб определяется по формуле:

• F = 5 * q * L ^ 4 / (384 * E * Jy), где q = 6,17 — линейная нагрузка;
• L = 500 сантиметров — длина расчетной балки, Е — модуль упругости (для стали) = 2,1 * 10,6 ^ 2, Jy — мин. момент инерции для данного двутавра (N12) = 350 см куб.

Итак: F = 5 * 6,17 * 500 ^ 4 / (384 * 2,1 * 10 ^ 6 * 350) = 6,83 см — это не соответствует максимально допустимому значению, поэтому мы берем следующий двутавр N14, для которого Jy = 572 см куб. и повторяем расчет, используя модуль и длину: F = 4,1 см, что тоже не подходит.

Таким образом, в данном случае подходит двутавр N 18 с моментом инерции 1290. Итак, макс. прогиб составит 1,85 см, что соответствует необходимым условиям.

Достичь требуемых значений можно не только увеличивая размер сечение в опорах, но и уменьшая шаг их расположения, увеличивая количество, а также посредством использования более качественного материала с большим значением модуля упругости для их изготовления.

Однако, какими бы ни были данные расчетов, выбор окончательного варианта всегда должен соответствовать требованиям строительных норм и правил, а при неуверенности в правильности полученных данных, лучше использовать современные онлайн калькуляторы или услуги конструкторских бюро.

Главная особенность и сложность работы с автоматическими программами расчета заключается в необходимости правильного ввода в калькулятор выходных данных.

То есть, по сути, калькулятор лишь выполняет математические вычисления, в которых используются те же формулы, что были описаны выше.

Определение угла поворота через прогиб

При решении задач проектирования зданий и сооружений, кроме основных параметров, которые определяются по своим индивидуальным формулам в зависимости от целого ряда условий, важное значение может иметь и угол поворота балки. Для облегчения задачи нахождения искомого момента, была установлена зависимость угла поворота от величины прогиба

Иными словами, угол прогиба перекрытия равен углу, который образует касательная к упругой линии изгиба балки с горизонтальной плоскостью

Для облегчения задачи нахождения искомого момента, была установлена зависимость угла поворота от величины прогиба. Иными словами, угол прогиба перекрытия равен углу, который образует касательная к упругой линии изгиба балки с горизонтальной плоскостью.

Однако, при нагрузках, которые не выходят за пределы упругих деформаций в опорах, то есть в случае грамотного подбора материала и количества балочных перекрытий, прогиб является незначительной величиной по сравнению с размерами сечения балки. Угол поворота в этом случае не превышает 0,1 — 0,15 радиан, что делает нецелесообразным его точное определение, достаточно сложно поддающегося исчислению для технически неподготовленного человека.

Виды перекрытий

Перекрытие – это горизонтальная несущая конструкция из балок, разделяющая здание по высоте на функциональные зоны или этажи и поддерживающая прочность всего строения. При строительстве дома применяют следующие виды перекрытий:

• цокольное или подвальное перекрытие;
• межэтажное перекрытие;
• чердачное перекрытие.

Чердачное перекрытие

Естественно, самые прочные – металлические балки в виде швеллера, уголка или двутавра, изготовленные из высокопрочной стали. Их лучше всего использовать для цокольного перекрытия, так как оно несёт наибольшую нагрузку. Из стальных балок можно устраивать длинные пролёты с большим расстоянием между балками. Они устойчивы к механическим повреждениям и гниению. Однако из-за большого веса с ними тяжело работать, а высокая цена металла увеличивает расходы на строительство.

Железобетонные балки перекрытия выдерживают большие нагрузки и подходят для строительства многоэтажных домов. Но для их монтажа понадобится специальная техника.

В основном при строительстве частных домов для перекрытий используют деревянные балки. Дерево – надёжный и экологически безопасный материал, который не навредит жильцам дома. Балки из дерева относительно недорого стоят и имеют небольшой, по сравнению с предыдущими видами вес, поэтому их легко устанавливать. Однако дерево огнеопасно, подвержено гниению и поражению короедом, поэтому требует предварительной обработки.

Вычисление значения максимального прогиба

Когда проводится расчет балки, формула отображает в себе все необходимые элементы. При этом стоит учитывать, что формула, используемая для расчетов, может иметь несколько иной вид, если расчет проводится для разных типов нагрузок, которые будут оказывать влияние на балку.

Сначала приведем вашему вниманию формулу, используемую для расчета максимального прогиба деревянной балки с распределенной нагрузкой.

f=-5*q*l^4/384*E*J.

Обратите внимание, что в данной формуле Е – это постоянная величина, которая получила название модуль упругости материала. Для древесины эта величина равна 100 000 кгс/ м²

Продолжив вычисления с нашими данными, использованными для примера, получим то, что для балки из древесины, сечение которой составляет 0,15х0,2 м, а длина равна 4 м, величина максимального прогиба при воздействии распределенной нагрузки равна 0,83 см.

Обращаем внимание, что когда производится расчет прогиба с учетом схемы с сосредоточенной нагрузкой, формула приобретает следующий вид:

f=-F*l^3/48*E*J, где:

F – сила давления на брус.

Также обращаем внимание на то, что значение модуля упругости, используемое в расчетах, может различаться для разных видов древесины. Влияние оказывают не только порода дерева, но и вид бруса

Поэтому цельная балка из дерева, клееный брус или оцилиндрованное бревно будут иметь разные модули упругости, а значит, и разные значения максимального прогиба.

Вы можете преследовать разные цели, совершая расчет балок на прогиб. Если вы хотите узнать пределы деформации элементов конструкции, то по завершении расчета стрелки прогиба вы можете остановиться. Если же ваша цель – установить уровень соответствия найденных показателей строительным нормам, то их нужно сравнить с данными, которые размещены в специальных документах нормативного характера.