Конические сечения

Алгебраическая классификация.

В алгебраических терминах конические сечения можно определить как плоские кривые, координаты которых в декартовой системе координат удовлетворяют уравнению второй степени. Иначе говоря, уравнение всех конических сечений можно записать в общем виде как

где не все коэффициенты A, B и C равны нулю. С помощью параллельного переноса и поворота осей уравнение (1) можно привести к виду

ax2 + by2 + c = 0

или

px2 + qy = 0.

Первое уравнение получается из уравнения (1) при B2№ AC, второе – при B2 = AC. Конические сечения, уравнения которых приводятся к первому виду, называются центральными. Конические сечения, заданные уравнениями второго вида с q № 0, называются нецентральными. В рамках этих двух категорий существуют девять различных типов конических сечений в зависимости от знаков коэффициентов.

-2831) Если коэффициенты a, b и c имеют один и тот же знак, то не существует вещественных точек, координаты которых удовлетворяли бы уравнению. Такое коническое сечение называется мнимым эллипсом (или мнимой окружностью, если a = b).

2) Если a и b имеют один знак, а c – противоположный, то коническое сечение – эллипс (рис. 1,а); при a = b – окружность (рис. 6,б).

3) Если a и b имеют разные знаки, то коническое сечение – гипербола (рис. 1,в).

4) Если a и b имеют разные знаки и c = 0, то коническое сечение состоит из двух пересекающихся прямых (рис. 6,а).

5) Если a и b имеют один знак и c = 0, то существует только одна действительная точка на кривой, удовлетворяющая уравнению, и коническое сечение – две мнимые пересекающиеся прямые. В этом случае также говорят о стянутом в точку эллипсе или, если a = b, стянутой в точку окружности (рис. 6,б).

6) Если либо a, либо b равно нулю, а остальные коэффициенты имеют разные знаки, то коническое сечение состоит из двух параллельных прямых.

7) Если либо a, либо b равно нулю, а остальные коэффициенты имеют один знак, то не существует ни одной действительной точки, удовлетворяющей уравнению. В этом случае говорят, что коническое сечение состоит из двух мнимых параллельных прямых.

8) Если c = 0, и либо a, либо b также равно нулю, то коническое сечение состоит из двух действительных совпадающих прямых. (Уравнение не определяет никакого конического сечения при a = b = 0, поскольку в этом случае исходное уравнение (1) не второй степени.)

9) Уравнения второго типа определяют параболы, если p и q отличны от нуля. Если p № 0, а q = 0, мы получаем кривую из п. 8. Если же p = 0, то уравнение не определяет никакого конического сечения, поскольку исходное уравнение (1) не второй степени.

Однополостный гиперболоид.

Однополостный гиперболоид вращения — это поверхность вращения гиперболы
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\nonumber
$$
вокруг той оси, которая ее не пересекает. По формуле \eqref{ref1} мы получаем уравнение этой поверхности (рис. 10.5)
$$
\frac{x^{2}+y^{2}}{a^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.\label{ref7}
$$

Рис. 10.5. Однополостный гиперболоид вращения.

В результате сжатия однополостного гиперболоида вращения к плоскости \(y=0\) мы получаем однополостный гиперболоид с уравнением
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.\label{ref8}
$$

Интересное свойство однополостного гиперболоида — наличие у него прямолинейных образующих. Так называются прямые линии, всеми своими точками лежащие на поверхности. Через каждую точку однополостного гиперболоида проходят две прямолинейные образующие, уравнения которых можно получить следующим образом.

Уравнение \eqref{ref8} можно переписать в виде
$$
\left(\frac{x}{a}+\frac{z}{c}\right)\left(\frac{x}{a}-\frac{z}{c}\right)=\left(1+\frac{y}{b}\right)\left(1-\frac{y}{b}\right).\nonumber
$$

Рассмотрим прямую линию с уравнениями
$$
\begin{array}{cc}
& \displaystyle\mu\left(\frac{x}{a}+\frac{z}{c}\right)=\lambda\left(1+\frac{y}{b}\right),\\
& \\
& \displaystyle\lambda\left(\frac{x}{a}-\frac{z}{c}\right)=\mu\left(1-\frac{y}{b}\right),
\end{array}\label{ref9}
$$
где \(\lambda\) и \(\mu\) — некоторые числа \((\lambda^{2}+\mu^{2} \neq 0)\). Координаты каждой точки прямой удовлетворяют обоим уравнениям, а следовательно, и уравнению \eqref{ref8}, которое получается их почленным перемножением. Поэтому каковы бы ни были \(\lambda\) и \(\mu\), прямая с уравнениями \eqref{ref9} лежит на однополостном гиперболоиде. Таким образом, система \eqref{ref9} определяет семейство прямолинейных образующих.

Второе семейство прямолинейных образующих определяется системой
$$
\begin{array}{cc}
& \mu’\left(\frac{x}{a}+\frac{z}{c}\right)=\lambda’\left(1-\frac{y}{b}\right),\\
& \\
& \lambda’\left(\frac{x}{a}-\frac{z}{c}\right)=\mu’\left(1+\frac{y}{b}\right),
\end{array}\label{ref10}
$$

Покажем на примере, как найти образующие, проходящие через данную точку поверхности. Рассмотрим поверхность \(x^{2}+y^{2}-z^{2}=0\) и точку \(M_{0}(1, 1, 1)\) на ней. Подставляя координаты \(M_{0}\) в уравнения \eqref{ref9}, мы получаем условия на \(\lambda\) и \(\mu\): \(2\lambda=2\mu\) и \(0 \cdot \lambda=0 \cdot \mu\). Первое из них определяет \(\lambda\) и \(\mu\) с точностью до общего множителя, но только с такой точностью они и нужны. Подставляя эти значения в \eqref{ref9}, получаем уравнения прямолинейной образующей
$$
x+z=1+y,\ x-z=1-y.\nonumber
$$

Она проходит через \(M_{0}\), так как \(\lambda\) и \(\mu\) так и выбирались, чтобы координаты \(M_{0}\) удовлетворяли этой системе. Аналогично, подставляя координаты \(M_{0}\) в (10), находим условия на \(\lambda’\) и \(\mu’\): \(2\mu’=0\) и \(2\mu’=0\). Коэффициент \(\lambda’\) можно взять любым ненулевым, и мы приходим к уравнению второй образующей: \(x=z\), \(y=1\).

Если вместе с гиперболой мы будем вращать ее асимптоты, то они опишут прямой круговой конус, называемый асимптотическим конусом гиперболоида вращения. При сжатии гиперболоида вращения его асимптотический конус сжимается в асимптотический конус общего однополостного гиперболоида.

Полярная двойственность

Зафиксируем на плоскости окружность ω{\displaystyle \omega }. Любой точке P{\displaystyle P} плоскости можно сопоставить её поляру p{\displaystyle p} относительно ω{\displaystyle \omega } — и наоборот, любой прямой можно сопоставить её полюс. Полученное преобразование, сопоставляющее точкам прямые, а прямым точки, называется полярным соответствием и является инволюцией, образы точек и прямых при таком преобразовании называются двойственными образами. Полярное соответствие может быть определено не только относительно окружности, но и относительно любой коники — в таком случае оно будет представлять собой композицию проективного преобразования, переводящего эту конику в окружность, полярного соответствия относительно этой окружности и обратного проективного преобразования.

Двойственным образом гладкой кривой будем называть множество двойственных образов всех касательных к этой кривой. Тогда верно, что двойственным образом коники также является коника. Таким образом, некоторые утверждения, например, теоремы Паскаля и Брианшона, являются полярно двойственными друг другу.

Габариты и элементы конуса Морзе

Отличительной чертой одного конуса Морзе от другого являются размеры. Существуют несколько их видов и в соответствии с ГОСТом каждый имеет определенный номер и аббревиатуру. Чтобы измерить его, необходимо воспользоваться калибровкой, а лучше всего специальной таблицей, которая позволит рассчитать размеры до микрона. В зависимости от станка, на котором будет проводиться обработка детали, следует выбирать например резец, сверло, а затем вид изобретения Стивена Морзе.

С развитием машиностроительной отрасли возникла потребность в расширении модельного ряда конусов Морзе. Для этого был разработан метрический конус, который не имел особых конструктивных отличий от своего предшественника. Его конусность равнялась 1:20, при этом угол 2°51’51″, а уклон 1°25’56″. Метрические конусы позволили создать большой выбор инструмента для различных станков и операций. Классифицируются они на две категории: большие и малые. Большие обозначаются, например № 120, 200, и цифры соответствуют наибольшему диаметру метрического конуса.

Размеры конуса Морзе

Инструментальный конус представляет собой конический хвостовик какого-нибудь режущего инструмента и коническое отверстие в шпинделе или бабке такого же диаметра. Его функция заключается в быстрой смене режущего инструмента и сохранении высокой точности при центрировании и закреплении.

Применяется в основном в станках с ЧПУ, потому что устраняет ряд недостатков обычного конуса Морзе.

Преимущества:

• заклинивание хвостовиков в шпинделе гораздо меньше;
• меньшие размеры;
• улучшенный упор по оси;
• простота закрепления;
• автоматическая смена режущего инструмента.

В наши дни конусы Морзе изготавливают в соответствие с международным стандартом ISO и DIN. В России система стандартизации объединяет в один класс как просто конусы Морзе, так и метрические и инструментальные. Информацию о них можно получить в ГОСТ 25557-82. Ситуация с единым ГОСТом сложилась из-за того, что конусы Морзе со времен СССР пользуются в нашем государстве большой популярностью, а параллельно с этим появилось много новых.

Конусы Морзе распределены по 8 категориям. За рубежом это МТ0, МТ1, МТ2, МТ3, МТ4, МТ5, МТ6, МТ7. В Германии такая же нумерация, но буквенное обозначение МК. В нашей стране и на постсоветском пространстве КМ0, КМ1, КМ2, КМ3, КМ4, КМ5, КМ6 и №80.

Укороченный конус

Как показало время, некоторые конусы Морзе зарубежного производства неудобны в эксплуатации по причине большой длины. На этот случай был разработан ряд укороченных изделий, имеющий 9 размеров.

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПОСТРОЕНИЯ

Особый интерес для астрономов представляет следующее простое построение точек эллипса с помощью циркуля и линейки. Пусть произвольная прямая, проходящая через точку O (рис. 11,а), пересекает в точках Q и R две концентрические окружности с центром в точке O и радиусами b и a, где b a. Проведем через точку Q горизонтальную прямую, а через R – вертикальную прямую, и обозначим их точку пересечения P. Тогда геометрическим местом точек P при вращении прямой OQR вокруг точки O будет эллипс. Угол f между прямой OQR и большой осью называется эксцентрическим углом, а построенный эллипс удобно задавать параметрическими уравнениями x = a cos f, y = b sin f. Исключая из них параметр f, получим уравнение (3а).

Для гиперболы построение во многом аналогично. Произвольная прямая, проходящая через точку O, пересекает одну из двух окружностей в точке R (рис. 11,б). К точке R одной окружности и к конечной точке S горизонтального диаметра другой окружности проведем касательные, пересекающие OS в точке T и OR – в точке Q. Пусть вертикальная прямая, проходящая через точку T, и горизонтальная прямая, проходящая через точку Q, пересекаются в точке P. Тогда геометрическим местом точек P при вращении отрезка OR вокруг O будет гипербола, задаваемая параметрическими уравнениями x = a sec f, y = b tg f, где f – эксцентрический угол. Эти уравнения были получены французским математиком А.Лежандром (1752–1833). Исключив параметр f, мы получим уравнение (4a).

Эллипс, как заметил Н.Коперник (1473–1543), можно построить с помощью эпициклического движения. Если окружность катится без скольжения по внутренней стороне другой окружности вдвое большего диаметра, то каждая точка P, не лежащая на меньшей окружности, но неподвижная относительно нее, опишет эллипс. Если точка P находится на меньшей окружности, то траектория этой точки представляет собой вырожденный случай эллипса – диаметр большей окружности. Еще более простое построение эллипса было предложено Проклом в 5 в. Если концы A и B отрезка прямой AB заданной длины скользят по двум неподвижным пересекающимся прямым (например, по координатным осям), то каждая внутренняя точка P отрезка опишет эллипс; нидерландский математик Ф. ван Схотен (1615–1660) показал, что любая точка в плоскости пересекающихся прямых, неподвижная относительно скользящего отрезка, также опишет эллипс.

Б.Паскаль (1623–1662) в 16 лет сформулировал ныне знаменитую теорему Паскаля, гласящую: три точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вписанного в любое коническое сечение, лежат на одной прямой. Из этой теоремы Паскаль вывел более 400 следствий.

Вывод уравнений конических сечений.

Любое коническое сечение можно также определить как кривую, по которой плоскость пересекается с квадратичной поверхностью, т.е. с поверхностью, задаваемой уравнением второй степени f (x, y, z) = 0. По-видимому, конические сечения были впервые распознаны именно в этом виде, а их названия (см. ниже) связаны с тем, что они были получены при пересечении плоскости с конусом z2 = x2 + y2. Пусть ABCD – основание прямого кругового конуса (рис. 7) с прямым углом при вершине V. Пусть плоскость FDC пересекает образующую VB в точке F, основание – по прямой CD и поверхность конуса – по кривой DFPC, где P – любая точка на кривой. Проведем через середину отрезка CD – точку E – прямую EF и диаметр AB. Через точку P проведем плоскость, параллельную основанию конуса, пересекающую конус по окружности RPS и прямую EF в точке Q. Тогда QF и QP можно принять, соответственно, за абсциссу x и ординату y точки P. Получившаяся кривая будет параболой.

Построение, представленное на рис. 7, можно использовать для вывода общих уравнений конических сечений. Квадрат длины отрезка перпендикуляра, восстановленного из любой точки диаметра до пересечения с окружностью, всегда равен произведению длин отрезков диаметра. Поэтому

y2 = RQЧQS.

Для параболы отрезок RQ имеет постоянную длину (так как при любом положении точки P он равен отрезку AE), а длина отрезка QS пропорциональна x (из соотношения QS/EB = QF/FE). Отсюда следует, что

где a – постоянный коэффициент. Число a выражает длину фокального параметра параболы.

Если угол при вершине конуса острый, то отрезок RQ не равен отрезку AE; но соотношение y2 = RQЧQS эквивалентно уравнению вида

где a и b – постоянные, или, после сдвига осей, уравнению

являющемуся уравнением эллипса. Точки пересечения эллипса с осью x (x = a и x = –a) и точки пересечения эллипса с осью y (y = b и y = –b) определяют соответственно большую и малую оси. Если угол при вершине конуса тупой, то кривая пересечения конуса и плоскости имеет вид гиперболы, и уравнение приобретает следующий вид:

или, после переноса осей,

В этом случае точки пересечения с осью x, задаваемые соотношением x2 = a2, определяют поперечную ось, а точки пересечения с осью y, задаваемые соотношением y2 = –b2, определяют сопряженную ось. Если постоянные a и b в уравнении (4a) равны, то гипербола называется равнобочной. Поворотом осей ее уравнение приводится к виду

xy = k.

Теперь из уравнений (3), (2) и (4) мы можем понять смысл названий, данных Аполлонием трем основным коническим сечениям. Термины «эллипс», «парабола» и «гипербола» происходят от греческих слов, означающих «недостает», «равен» и «превосходит». Из уравнений (3), (2) и (4) ясно, что для эллипса y2 b2/a) x, для параболы y2 = (a) x и для гиперболы y2 > (2b2/a) x. В каждом случае величина, заключенная в скобки, равна фокальному параметру кривой.

Сам Аполлоний рассматривал только три общих типа конических сечений (перечисленные выше типы 2, 3 и 9), но его подход допускает обобщение, позволяющее рассматривать все действительные кривые второго порядка. Если секущую плоскость выбрать параллельной круговому основанию конуса, то в сечении получится окружность. Если секущая плоскость имеет только одну общую точку с конусом, его вершину, то получится сечение типа 5; если она содержит вершину и касательную к конусу, то мы получаем сечение типа 8 (рис. 6,б); если секущая плоскость содержит две образующие конуса, то в сечении получается кривая типа 4 (рис. 6,а); при переносе вершины в бесконечность конус превращается в цилиндр, и если при этом плоскость содержит две образующие, то получается сечение типа 6.

Если на окружность смотреть под косым углом, то она выглядит как эллипс. Взаимосвязь между окружностью и эллипсом, известная еще Архимеду, становится очевидной, если окружность X2 + Y2 = a2 с помощью подстановки X = x, Y = (a/b) y преобразовать в эллипс, заданный уравнением (3a). Преобразование X = x, Y = (ai/b) y, где i2 = –1, позволяет записать уравнение окружности в виде (4a). Это показывает, что гиперболу можно рассматривать как эллипс с мнимой малой осью, или, наоборот, эллипс можно рассматривать как гиперболу с мнимой сопряженной осью.

Соотношение между ординатами окружности x2 + y2 = a2 и эллипса (x2/a2) + (y2/b2) = 1 непосредственно приводит к формуле Архимеда A = pab для площади эллипса. Кеплеру была известна приближенная формула p (a + b) для периметра эллипса, близкого к окружности, но точное выражение было получено лишь в 18 в. после введения эллиптических интегралов. Как показал Архимед, площадь параболического сегмента составляет четыре третьих площади вписанного треугольника, но длину дуги параболы удалось вычислить лишь после того, как в 17 в. было изобретено дифференциальное исчисление.