Условие жесткости при растяжении сжатии формула

Расчёты на прочность при изгибе

Особую важность при проектировании конструкций и их отдельных элементов играют предварительные расчёты на прочность при возникающих изгибах. По результатам проведенных расчётов устанавливают фактические (реальные) и допустимые напряжения, которые способны выдержать элементы и вся конструкция в целом

Это позволит определить реальный срок службы разработать рекомендации по правильной эксплуатации разработанного объекта.

Условие прочности выводится в результате сравнения двух показателей. Наибольшего напряжения, которое возникает в поперечном сечении при эксплуатации и допустимого напряжения для конкретного элемента. Прочность зависит от применённого материала, размера детали, способа обработки и его физико-механических и химических свойств.

Для решения поставленной задачи применяются методы и математический аппарат, разработанный в дисциплинах техническая механика, материаловедение и сопротивление материалов. В этом случае применяются:

• дифференциальные зависимости Журавского (семейство дифференциальных уравнений связывающие основные параметры при деформации и их производные);
• способы определения перемещения (наиболее эффективными считаются метод Мора и правило Верещагина);
• семейство принятых гипотез;
• разработанные правила построения графических изображений (построение эпюр).

Расчёт параметров производится в три этапа:

• при проверочном расчёте (вычисляют величину максимального напряжения);
• на этапе проектирования (производится выбор толщины и параметров сечения бруса);
• во время вычисления допустимой нагрузки.

Полученные знаки величин напряжений определяются на основании оценки протекающих физических процессов и направления проекций векторов сил и моментов.

Наиболее наглядными результатами расчёта являются построенные эпюры на поверхности разрабатываемого изделия. Они отражают влияние всех силовых факторов на различные слои деталей. При чистом изгибе эпюры имеют следующие особенности:

• на участке исследуемой балки с отсутствием нагрузки, которая носит распределённый характер, эпюра изображается прямой линией;
• на участке приложения так называемых сосредоточенных сил на эпюре наблюдается изменение направления в форме скачка в том месте к которому приложен вектор силы;
• в точке появления приложенного момента, скачок равен величине этого параметра;
• на участке с распределённой нагрузкой интенсивность воздействия изменяется по линейному закону, а поперечные нагрузки носят степенной характер изменения (чаще всего по параболической кривой, с направлением выпуклости в сторону приложенной нагрузке);
• в границах исследуемого участка функция изгибающего момента приобретает экстремум (на основании методов исследования функций с помощью дифференциального исчисления можно установить характер экстремума – максимум или минимум).

На практике решение систем дифференциальных уравнений может вызвать определённые трудности. Поэтому при расчётах допускаются некоторые прощения, которые не влияют на точность определяемых параметров. К этим упрощениям относятся:

• расчёт производят с учётом нормальных напряжений;
• в качестве основного предположения принимают гипотезу о плоских сечениях;
• продольные волокна не производят дополнительного давления между собой (это позволяет считать, что процессы изгиба носят линейный характер);
• деформация волокон не зависит от их ширины (значения нормальных напряжений постоянные по всей ширине);
• для расчётной балки задают одну плоскость симметрии (все внешние силы лежат в этой плоскости);
• физико-механические характеристики материала подчиняются закону Гука (модуль упругости имеет постоянную величину);
• процессы в балке подчиняются законам плоского изгиба (это допущение вытекает из соотношений геометрических размеров изделия).

Современные методы исследования воздействия внешних сил, внутренних напряжений и моментов позволяют с высокой степенью точности рассчитать прочность каждой детали и всей конструкции в целом. Применение компьютерных методов расчёта, фрактальной геометрии и 3D графики позволяет получить подробную картину происходящих процессов.

Также в разделе

Расчеты на прочность при кручении

При кручении расчеты на прочность в принципе схожи с теми, что проводятся при растяжении. Только здесь вместо нормальных напряжений появляются касательные напряжения.

На кручение работают, чаще всего, детали, которые называются валами. Их назначение заключается в передаче крутящего момента от одного элемента к другому. При этом вал по всей длине имеет круглое поперечное сечение. Условие прочности для круглого поперечного сечения можно записать  так:

где Ip — полярный момент сопротивления, ρ — радиус круга. Причем по этой формуле можно определить касательное напряжение в любой точке сечения, варьируя значение ρ. Касательные напряжения распределены неравномерно по сечению, их максимальное значение находится в наиболее удаленных точках сечения:

Условие прочности, можно записать несколько проще, используя такую геометрическую характеристику как момент сопротивления:

То бишь максимальные касательные напряжения равны отношению крутящего момента к полярному моменту сопротивления и должны быть меньше либо равны допустимому напряжению. Геометрические характеристики для круга, упомянутые выше можно найти вот так:

Иногда в задачах встречаются и прямоугольные сечения, для которых момент сопротивления определяется несколько сложнее, но об этом я расскажу в другой статье.

Типы деформации

В зависимости от того, как приложена внешняя сила, различают деформации растяжения-сжатия, сдвига, изгиба, кручения.

Деформация растяжения-сжатия

Деформация растяжения-сжатия вызывается силами, которые приложены к концам бруса параллельно его продольной оси и направлены в разные стороны.

Под действием внешних сил частицы твёрдого вещества, колеблющиеся относительно своего положения равновесия, смещаются. Но этому процессу пытаются помешать внутренние силы взаимодействия между частицами, старающиеся удержать их в исходном положении на определённом расстоянии друг от друга. Силы, препятствующие деформации, называются силами упругости.

Деформацию растяжения испытывают натянутая тетива лука, буксировочный трос автомобиля при буксировке, сцепные устройства железнодорожных вагонов и др.

Когда мы поднимается по лестнице, ступеньки под действием нашей силы тяжести деформируются. Это деформация сжатия. Такую же деформацию испытывают фундаменты зданий, колонны, стены, шест, с которым прыгает спортсмен.

Деформация сдвига

Если приложить внешнюю силу по касательной к поверхности бруска, нижняя часть которого закреплена, то возникает деформация сдвига. В этом случае параллельные слои тела как бы сдвигаются относительно друг друга.

Представим себе расшатанный табурет, стоящий на полу. Приложим к нему силу по касательной к его поверхности, то есть, попросту потянем верхнюю часть табурета на себя. Все его плоскости, параллельные полу, сместятся друг относительно друга на одинаковый угол.

Такая же деформация происходит, когда лист бумаги разрезается ножницами, пилой с острыми зубьями распиливается деревянный брус и др. Деформации сдвига подвергаются все крепёжные детали, соединяющие поверхности, — винты, гайки и др.

Деформация изгиба

Такая деформация возникает, если концы бруса или стержня лежат на двух опорах. В этом случае на него действуют нагрузки, перпендикулярные его продольной оси.

Деформацию изгиба испытывают все горизонтальные поверхности, положенные на вертикальные опоры. Самый простой пример — линейка, лежащая на двух книгах одинаковой толщины. Когда мы поставим на неё сверху что-то тяжёлое, она прогнётся. Точно так же прогибается деревянный мостик, перекинутый через ручей, когда мы идём по нему.

Деформация кручения

Кручение возникает в теле, если приложить пару сил к его поперечному сечению. В этом случае поперечные сечения будут поворачиваться вокруг оси тела и относительно друг друга. Такую деформацию наблюдают у вращающихся валов машин. Если вручную отжимать (выкручивать) мокрое бельё, то оно также будет подвергаться деформации кручения.

Определение полевого модуля деформации согласно ГОСТ 20276-2012:

1. Методом испытания штампом в соответствии с разделом 5 для определения модуля деформации дисперсных грунтов: минеральных, органо-минеральных и органических грунтов.

Определяют по результатам нагружения грунта вертикальной нагрузкой в забое горной выработки с помощью штампа.

Модуль деформации E вычисляется по п.5.5.2:

E  = (1-ν2) · K_p· K₁· D· Δp / ΔS

где ν  — коэффициент Пуассона;

K_p — коэффициент, принимаемый в зависимости от заглубления штампа h/D  ( h — глубина расположения штампа относительно дневной поверхности грунта, см;  D — диаметр штампа, см);

K₁ — коэффициент, принимаемый для жесткого круглого штампа равным 0,79;

Δp — приращение давления на штамп;

ΔS — приращение осадки штампа, соответствующее Δp.

2. Методом испытания радиальным прессиометром в соответствии с разделом 5 для определения модуля деформации дисперсных грунтов: песков, глинистых, органо-минеральных и органических грунтов..

В состав установки для испытания грунта радиальным прессиометром должны входить:

• зонд, снабженный эластичной оболочкой с каналами для передачи давления рабочей жидкости (воздуха) под оболочку;
• устройство для создания и измерения давления в камере зонда;
• устройство для измерения перемещений оболочки зонда.

Модуль деформации E вычисляется по п.5.5.2:

E  =  K_r· r_o · Δp / Δr

где K_r — корректирующий коэффициент;

r_o — начальный радиус скважины;

Δp — приращение давления на стенку скважины;

ΔS — приращение перемещения стенки скважины (по радиусу).

Механические свойства материалов.

Основными механическими свойствами материалов при их деформации являются прочность, пластичность, хрупкость, упругость и твердость.

Прочность — способность материала сопротивляться воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.

Пластичность – свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.

Хрупкость – свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).

Идеальная упругость – свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.

Твердость – свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.

Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l0 и начальным постоянным поперечным сечением площади A0 статически растягивается с обоих торцов силой F.

Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)

где Δl = l — l0 абсолютное удлинение стержня; ε = Δl / l0 — относительное продольное удлинение стержня; σ = F / A0 — нормальное напряжение; E — модуль Юнга; σп — предел пропорциональности; σуп — предел упругости; σт — предел текучести; σв — предел прочности (временное сопротивление); εост — остаточная деформация после снятия внешних нагрузок. Для материалов, не имеющих ярко выраженную площадку текучести, вводят условный предел текучести σ0,2 — напряжение, при котором достигается 0,2% остаточной деформации. При достижении предела прочности в центре стержня возникает локальное утончение его диаметра («шейка»). Дальнейшее абсолютное удлинение стержня идет в зоне шейки ( зона местной текучести). При достижении напряжением предела текучести σт глянцевая поверхность стержня становится немного матовой – на его поверхности появляются микротрещины (линии Людерса-Чернова), направленные под углом 45° к оси стержня.

Внутренние усилия при растяжении и сжатии

При приложении к брусу с постоянным сечением внешних воздействий, действие которых в любом поперечном разрезе направлено параллельно его центральной оси и перпендикулярно сечению, с ним происходит следующий вид деформации: растяжение или сжатие.  На основе гипотезы о принципе независимости внешнего воздействия для каждого из поперечных разрезов можно рассчитать внутреннее усилие как векторную сумму всех приложенных внешних воздействий. Растягивающие нагрузки в сопромате принято считать положительными, а сжимающие отрицательными.

Рассмотрев произвольный разрез бруса или стержня, можно сказать что внутренние напряжения равны векторной сумме всех внешних сил, сгруппированных по одной из его сторон. Это верно только с учетом принципа Сен-Венана (фр. инженер А. Сен-Венан, 1797-1886) о смягчении граничных условий, т.к. распределение внутренних усилий по поверхности разреза носит сложный характер с нелинейными зависимостями, но в данном случае значением погрешности можно пренебречь как несущественным.

Применяя гипотезу Бернулли (швейцарский математик, И. Бернулли, 1667-1748) о плоских сечениях, для более наглядного представления процессов распределения сил и напряжений по центральной оси бруса можно построить эпюры. Визуальное представление более информативно и в некоторых случаях позволяет получить необходимые величины без сложных расчетов. Графическое представление отражает наиболее нагруженные участки стержня, инженер может сразу определить проблемные места и ограничиться расчетами только для критических точек.

Все вышесказанное может быть применимо при квазистатической (система может быть описана статически) нагрузке стержня с постоянным диаметром. Потенциальная энергия системы на примере растяжения стержня определяется по формуле:

U=W=FΔl/2=N²l/(2EA)

Потенциальная энергия растяжения U концентрируется в образце и может быть приравнена к выполнению работы W (незначительное выделение тепловой энергии можно отнести к погрешности), которая была произведена силой F для увеличения длины стержня на значение абсолютного удлинения.  Преобразуя формулу, получаем, что вычислить значение величины потенциальной энергии растяжения можно, рассчитав отношение квадрата продольной силы N помноженной на длину стержня l и удвоенного произведения модуля Юнга E материала на величину сечения A.

Как видно из формулы, энергия растяжения всегда носит положительное значение, для нее невозможно применить гипотезу о независимости действия сил, т.к. это не векторная величина. Единица измерения – джоуль (Дж). В нижней части формулы стоит произведение EA – это так называемая жесткость сечения, при неизменном модуле Юнга она растет только за счет увеличения площади. Величина отношения жесткости к длине бруса рассматривается как жесткость бруса целиком.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ИЗ СМЕЖНЫХ ДИСЦИПЛИН

1. Назовите кости предплюсны.

VI. СОДЕРЖАНИЕ ЗАНЯТИЯ

1. анатомо-функциональные особенности стопы;
2. этиология и патогенез плоскостопия и деформаций пальцев;
3. клинические проявления;
4. диагностика;
5. показания к консервативному и оперативному лечению, его сущность;
6. профилактика.

Статические деформации стоп

1. при значительном увеличении массы тела человека, при тяжелой физической работе с переносом тяжестей и длительным пребыванием на ногах, когда исчерпаны компенсаторные возможности организма и дополнительная нагрузка становится чрезмерной, или
2. при обычной нагрузке, когда стопы ослаблены вследствие внутренних и внешних причин, и даже обычная нагрузка становится для них чрезмерной.

К статическим деформациям стоп относятся:

• продольное плоскостопие (pes planus) и его разновидность – плоско-вальгусная стопа (pes plano-valgus);
• поперечное плоскостопие (pes transverso-planus);
• комбинированное плоскостопие (сочетание продольного и поперечного);
• вальгусное отклонение I пальца (hallux valgus);
• молоткообразные пальцы (digiti mallei);
• варусное отклонение V пальца (quintus varus);
• костно-фиброзные разрастания головок I и V плюсневых костей.

продольныйпоперечный сводыпродольный сводПоперечный сводклассической теории головки плюсневых костей располагаются в виде дуги, или арки Отсюда делается выводпри нагрузке поперечного свода в области головок плюсневых костейв норме не существуетсовременная концепция (модель)дистальному отделу плюсны сводчатое строение не характерно, а головки всех плюсневых костей располагаются примерно на одной линиипродольного свода поперечного свода продольного свода Поперечный свод расположенные мышцы способствуют укорочению стопыПРОДОЛЬНОЕ ПЛОСКОСТОПИЕотносительно друг друга вокруг поперечныхпростым плоскостопиемнаиболее тяжелая форма статического плоскостопия – плоско-вальгусная стопа Диагностика продольного плоскостопияклиническом обследовании подометрии, рентгенографии, плантографии и педобарографии. При клиническом обследованиидеформации и степень ее фиксированностижалобы

• быструю утомляемость ног;
• боли в стопах и мышцах голени;
• деформацию стоп;
• периодические судорожные сокращения мышц;
• пастозность и отеки стоп.

Болипри плоскостопииЧаще всего болипоявляются на подошвенной поверхности стопы и в области голени.сопровождаются судорожными сокращениями мышц.наличие болезненных точек при пальпации:

• у внутреннего края подошвенного апоневроза (из-за его перерастяжения в связи с уплощением свода стопы);
• под ладьевидной костью, между нею и proc. sustentaculum tali (вследствие давления опускающейся книзу головки таранной кости на пяточно-ладьевидную связку);
• под верхушкой наружной лодыжки (из-за начинающегося отклонения пяточной кости кнаружи);
• в области таранно-ладьевидного сочленения по тылу стопы (вследствие развития остеоартроза).

Мышечное перенапряжениеДеформация стопы при плоскостопии

• относительное удлинение стопы и расширение ее среднего отдела;
• выраженное снижение или полное исчезновение продольного свода (стопа опирается всей своей подошвенной поверхностью);
• абдукция (отведение) переднего отдела стопы (носок смотрит кнаружи) (рис.7);

выделяют 3 степени тяжести продольного плоскостопия:слабо выраженное плоскостопиеПоявляется отечность стопы и голеностопного сустава,Рентгенологическое исследованиеизмеряют высоту и угол продольного свода стопы(ладьевидный угол свода)величина ладьевидного угла продольного свода стопы высоты продольного свода стопы Методом подометрииПлантография (получение отпечатка подошвенной поверхности стопы)оценки состояния продольного свода используетсПедография и педобарография
  2    

Поперечно-распластанная стопа и вальгусное отклонение І пальца

Поперечно-распластанная стопа чаще всего бывает у женщин старше 35 лет. Причину этой патологии видели в отклонении I пальца стопы вследствие ходьбы в модельной обуви (вестиментарна теория). Однако многочисленными обследованиями людей и клиническими наблюдениями установлено, что поперечно-распластанная стопа встречается у подростков и мужчин, такой обувью не пользующихся. Не подтвердилась теория слабости мышц, которая является и достоверно доказана также при продольной плоской стопе.

В связи с тем, что плюсневые кости содержатся между собой лишь соединительнотканными структурами, поперечную распластанность связывают с недостаточностью апоневроза подошвы и связочного аппарата, обусловленная статическими факторами. Г. А. Альбрехт считал, что ключ к этой патологии находится в суставах между костями плюсны и заплесна; І плюсневая кость приводится и ротуется, V — отводится, а II-IV кости, как правило, остаются на месте. Возникает вывих сесамовидной костей в плюсна-сесамовидном суставе.

Доказано, что головки плюсневых костей, по сути, не образуют поперечного свода и не при всех распластаньях стопы образуются натоптыши в области головок II-III костей.

В результате приведения І кости большой палец смещается наружу, сопровождаясь постепенным подвывихом. Без распластания стопы не бывает вальгусного отклонения I пальца, а степень отклонения зависит от степени распластания стопы. Эта патология, как правило, двусторонняя. Больные жалуются на боль в области мозоли на подошве в проекции головок плюсневых II-III костей или обусловленной бурситом сбоку образованной экзостозы головки I плюсневой кости. При осмотре обнаруживают классическую деформацию стопы.

Лечение поперечно-распластанной стопы и вальгусной деформации

Консервативное лечение рекомендуют при начальной форме деформации стопы. Больным назначают ортопедическую обувь различной конструкции или вкладыши в обувь со специальной «грушей» или валиком Зейтца, чтобы разгрузить поперечный свод. С этой целью рекомендуют также проводить поперечное бинтование дистального отдела стопы и другие средства. Больным назначают ванночки, массаж, а при бурсите —противовоспалительные средства.

Однако консервативные средства — это симптоматическая терапия, не устраняет первопричины, поэтому применяют оперативные методы лечения, которых насчитывают более ста. В клинической практике применяют не все, а лишь паллиативные и более радикальные. К паллиативным принадлежат бурсектомия и сбивание экзостозы головки I плюсневых кости (по Шаде), которые облегчают состояние больного, но не устраняют первопричины, часто возникают рецидивы.

Резекция головки по Гиттеру также дает неудовлетворительные результаты, так как меняются статикодинамические условия стопы, и возникает боль вследствие перераспределения нагрузки. Однако краевая резекция и моделирование головки (артропластика) у пожилых людей дают удовлетворительные результаты.

К патогенетически обоснованным операциям следует отнести устраняющие приведение I плюсневой кости и вальгусного отклонения I пальца стопы.

Г. М. Крамаренко (1956) предложила сшивать между собой I и V плюсневые кости в области шеек со стороны подошвы шелковыми или лавсановыми нитками или лентой. Эта операция дополнена сбиванием экзостозы и капсулопластикой с выводом I пальца в нормальное положение, что дает хорошие результаты. Недостатком является осложнение — рассасывание от пролежня кости и патологический перелом шейки.

Более эффективны остеотомии I плюсневой кости — дырчастые по К. М. Кочевой, клинообразные за Логрошино, Б. К. Бабич, которые после приведения и сращения кости не имеют тенденции к рецидивам. Как правило, остеотомию сочетают с сбиванием экзостозы и капсулопластикой.

Патогенетически обоснованной является также операция устранения подвывиха сесамовидных костей путем капсулопластики и пластического перемещения сухожилий.