Крутильные колебания модуль кручения и модуль сдвига

Как посчитать модуль упругости стали?

Важно понимать, что модуль упругости Юнга не относится к постоянным величинам. Даже одна и та же марка стали может менять значения в зависимости от точечного применения силы на предмет (колебания незначительные, но они все же есть)

Если говорить о более-менее точных показателях, то ими в мире металлов может похвастаться только алюминий, сталь и медь.

Пример выше для строительных материалов взят из справочника, но цифры на бумаге не всегда отображают на 100% верные данные. Куда правильнее будет обратиться к онлайн-расчётам, или воспользоваться специализированным софтом.

Как узнать модуль упругости стали:

Здесь же можно прочесть условные обозначения. Все физические характеристики материалов приняты по ПНАЭ Г-7-002-86, а промежуточные значения расчетных данных модуля упругости стали определяются методом линейной интерполяции.

Перед непосредственным использованием полученной информации на практике, следует провести сверку с ГОСТами. Неофициальные источники информации могут использоваться лишь для прикидочных расчетов и домашнем строительстве.

При возведении масштабных объектов, модуль Юнга нужно проверять по несколько раз, ведь от выбранных элементов будет зависеть крепость конструкции в целом.

Контрольные вопросы

Выведите формулу (2).

При определении модуля сдвига статическим способом зависимость рекомендуется снять как при возрастающих, так и при убывающих значениях М. Почему? Совпадут ли оба полученные таким образом результаты, если трение в осях блоков Б будет значительным?

При определении модуля сдвига динамическим способом указывалось, что период колебаний не зависит от амплитуды только при сравнительно небольших значениях последней. Объясните качественно, как будет меняться период при возрастании амплитуды?

Какому методу определения G вы отдадите предпочтение на практике, статическому или динамическому?

Как при динамическом определении G измерить величины L₁ и L₂? Имеет ли смысл выбирать их малыми?

Как оценить ошибку измерений по графику зависимости Т 2 от L 2 ?

Кручение и локализация

Пусть R — область целостности с полем частных Q, а M — R-модуль. Тогда можно рассмотреть Q-модуль (то есть векторное пространство)

MQ=M⊗RQ.{\displaystyle M_{Q}=M\otimes _{R}Q.}

Существует естественный гомоморфизм a↦a⊗1{\displaystyle a\mapsto a\otimes 1} из абелевой группы M в абелеву группу M_Q, и ядро этого гомоморфизма — в точности подмодуль кручения. Аналогично, для локализации кольца R по мультипликативной системе S

MS=M⊗RRS,{\displaystyle M_{S}=M\otimes _{R}R_{S},}

ядро естественного гомоморфизма — это в точности элементы S-кручения. Таким образом, подмодуль кручения можно понимать как множество тех элементов, которые отождествляются при локализации.

Закон Гука

Наблюдения за различными видами деформации показали, что величина деформации тела зависит от механического напряжения, возникающего под действием приложенных к телу сил.

Эту зависимость описывает закон, открытый в 1660 г. английским учёным Робертом Гуком, которого называют одним из отцов экспериментальной физики.

Виды деформации удобно рассматривать на модели бруса. Это тело, один из трёх размеров которого (ширина, высота или длина), гораздо больше двух других. Иногда вместо термина «брус» употребляют термин «стержень». У стержня длина намного превышает его ширину и высоту.

Рассмотрим эту зависимость для деформации растяжения-сжатия.

Предположим, что стержень первоначально имеет длину L. Под действием внешних сил его длина изменится на величину ∆l. Она называется абсолютным удлинением (сжатием) стержня.

Для деформации растяжения-сжатия закон Гука имеет вид:

F — сила, сжимающая или растягивающая стержень; k — коэффициент упругости.

Сила упругости прямо пропорциональна удлинению тела до некого предельного значения.

Е — модуль упругости первого рода или модуль Юнга. Его величина зависит от свойств материала. Это теоретическая величина, введённая для характеристики упругих свойств тел.

S — площадь поперечного сечения стержня.

Отношение абсолютного удлинения к первоначальной длине стержня называют относительным удлинением или относительной деформацией.

При растяжении его величина имеет положительное значение, а при сжатии отрицательное.

Отношение модуля внешней силы к площади поперечного сечения стержня называется механическим напряжением.

Тогда закон Гука для относительных величин будет выглядеть так:

Напряжение σ прямо пропорционально относительной деформации ε.

Считается, что сила, стремящаяся удлинить стержень, является положительной (F ˃ 0), а сила, укорачивающая его, имеет отрицательное значение (F ˂ 0).

Коэффициент запаса прочности

Для количественного выражения запаса прочности при конструировании применяют коэффициент запаса прочности. Он характеризует способность изделия к перегрузкам выше номинальных. Для бытовых изделий он невелик, но для ответственных узлов и деталей, могущих при разрушении представлять опасность для жизни и здоровья человека, его делают многократным.

Запас прочности

Точный расчет прочностных характеристик позволяет создать достаточный для безопасности запас прочности и одновременно не перетяжелить конструкцию, ухудшая ее эксплуатационные характеристики. Для таких расчетов используются сложные математические методы и совершенное программное обеспечение. Наиболее важные конструкции обсчитывают на суперкомпьютерах.

Примеры

• Пусть M — свободный модуль над кольцом R, из определения немедленно следует, что M является модулем без кручения. В частности, векторные пространства не имеют кручения.
• В модулярной группе любой нетривиальный элемент кручения либо имеет порядок 2 и является сопряженным с S, либо имеет порядок 3 и является сопряжённым с ST. Элементы кручения здесь не образуют подгруппу: например, S · ST = T, а T имеет бесконечный порядок.
• Абелева группа QZ{\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} } (которую можно представлять себе как группу поворотов окружности на угол, соизмеримый с длиной окружности) является группой кручения. Этот пример можно обобщить следующим образом: если R — коммутативное кольцо, а Q — его поле частных, то Q/R является группой кручения.
• Пусть задано векторное пространство V над полем F с линейным оператором. Если естественным образом рассматривать это пространство как F(x)-модуль, то этот модуль является модулем кручения (по теореме Гамильтона-Кэли, или просто из-за того, что пространство конечномерно).

Указания по расчету погрешности

Определить
инструментальную погрешность измерения
длины

деревянной линейкой, массы

с помощью гиревых весов, внутреннего и
внешнего радиусов кольца

и

штангенциркулем, радиуса проволоки

микрометром, периодов

и

секундомером.

Определить
погрешность округления для каждого
измерения.

Определить
среднее значение периодов

и
,
используя формулу

(П.1)

где

– значение измеряемой величины в
-том
наблюдении,

– число повторных наблюдений. Разность

называется случайным отклонением
результата
-того
наблюдения от среднего.

Для
расчета случайной погрешности используется
формула:

,
(П.2)

где

– коэффициент Стьюдента, величина
которого зависит от количества измерений
и доверительной вероятности результата,
его значения приведены в табл. П.1. Как
правило в лабораторном практикуме
используется доверительная вероятность
0,95.

Для
каждой величины найти полную погрешность,
сложив квадратично все виды погрешности.
Например, для периода
:

. (П.3)

Таблица
П.1

Значения
коэффициентов Стьюдента для различных
количеств измерений и доверительной
вероятности 0,95

Затем
полную погрешность

рассчитать, используя метод среднего
квадратичного.

Данный
метод используется при проведении
косвенных измерений. В таком случае
искомая величина

является функцией нескольких параметров:

Затем
погрешность величины

находится по формуле:

. (П.4)

Для
формулы (20) найдем все частные производные,
входящие в (П.4):

,
,

,

,

,

,

.

Подставив
полученные формулы в (П.4) и используя
средние значения для всех входящих
величин, получим полную погрешность
для модуля сдвига.

Кручение и локализация

Пусть R — область целостности с полем частных Q, а M — R-модуль. Тогда можно рассмотреть Q-модуль (то есть векторное пространство)

MQ=M⊗RQ.{\displaystyle M_{Q}=M\otimes _{R}Q.}

Существует естественный гомоморфизм a↦a⊗1{\displaystyle a\mapsto a\otimes 1} из абелевой группы M в абелеву группу M_Q, и ядро этого гомоморфизма — в точности подмодуль кручения. Аналогично, для локализации кольца R по мультипликативной системе S

MS=M⊗RRS,{\displaystyle M_{S}=M\otimes _{R}R_{S},}

ядро естественного гомоморфизма — это в точности элементы S-кручения. Таким образом, подмодуль кручения можно понимать как множество тех элементов, которые отождествляются при локализации.

Определение

Элемент g группы G называется элементом кручения, если он имеет конечный порядок, то есть существует натуральное n, такое что gn = e, где e обозначат нейтральный элемент группы. Группа называется периодической (или группой кручения), если все её элементы являются элементами кручения, и группой без кручения, если единственный элемент кручения — нейтральный. Известно, что любая абелева группа является модулем над кольцом целых чисел; в частности, определение элемента кручения для неё можно переформулировать так: существует ненулевое целое число, такое что умножение на это число переводит данный элемент в ноль. Это мотивирует следующее определение:

Элемент m модуля M над кольцом R называется элементом кручения, если существует ненулевой регулярный элемент r кольца R (то есть элемент, не являющийся левым или правым делителем нуля), аннулирующий m, то есть такой, что rm = 0. В случае работы с целостным кольцом предположение регулярности можно отбросить. Аналогичным образом определяются модуль кручения и модуль без кручения. В случае, если кольцо R коммутативно, можество всех элементов кручения модуля M образует подмодуль, называемый подмодулем кручения (в частности, для модуля над Z он называется подгруппой кручения).

Более общо, пусть M — модуль над кольцом R и S — мультипликативно замкнутая система кольца. Элемент m модуля M называется элементом S-кручения, если существует элемент мультипликативной системы, аннулирующий m. В частности, множество регулярных элементов кольца является наибольшей мультипликативной системой.

Напряжения кручения

Исходя из приведенного выше определения деформации кручения, при данном процессе в поперечном сечении наблюдаются лишь касательные напряжения, направленные перпендикулярно к радиусам. Их определяют для конкретной точки как произведение соотношения крутящего момента к геометрическому полярному инерционному моменту и расстояния данной точки от оси кручения.

Изменение касательных напряжения линейно, и максимальной величины они достигают на поверхности при наибольших значениях крутящего момента и расстояния от оси кручения, поэтому ее значение вычисляют как частное наибольшего крутящего и полярного моментов сопротивления.

С применением данного условия возможно вычислить прочие параметры: по силовым факторам, создающим крутящий момент – показатель сопротивления и далее размеры сечения в зависимости от формы, либо по размеру сечения – максимально допустимое для него значение крутящего момента и на основе последней допустимые значения внешних нагрузок.

Касательные напряжения, по закону парности, формируются при кручении как в поперечных, так и в продольном направлениях. Вследствие этого во всех точках вала наблюдается деформация в виде чистого сдвига. Главные напряжения направлены к образующей под углом 45°.

Помимо скручивающих усилий возможно воздействие на вал моментной нагрузки.

Из изложенных выше данных следует, что удаление материала в районе оси вала незначительно сказывается на прочности ввиду того, что данная часть мало нагружена. При равных площади сечения и массе деталей кольцевые варианты характеризуются большими полярными моментами сопротивления и инерции по сравнению со сплошными валами. То есть при равной массе полые варианты прочнее и жестче, а при одинаковых показателях прочности и жесткости легче. Названные параметры определяют устойчивость данных изделий к деформации.

Выше были рассмотрены особенности деформации кручения круглых в поперечном разрезе предметов. Для треугольных, прямоугольных, эллиптических и прочих вариантов не применима гипотеза плоских сечений. Это обусловлено тем, что поверхности данного типа при кручении искривляются. Данный процесс их коробления вследствие смещения отдельных точек при деформации вдоль оси называют депланацией. Вследствие этого методы сопротивления материалов для вычисления кручений и напряжений неприменимы. Вместо них используют методы теории упругости.

Для изделий произвольной поперечной формы касательные напряжения имеют направление по касательной к контуру, однако при наличии внешних углов они отсутствуют. Так, при разложении напряжения вблизи угла по нормалям к его сторонам надвое из закона парности следует формирование касательных напряжений на свободной поверхности. Однако в данном случае она свободна от нагрузки, поэтому у внешнего угла касательные напряжения обнуляются.

Для наиболее распространенных среди вариантов некруглого сечения прямоугольных валов наибольшие напряжения характерны для поверхностных участков в середине длинных сторон. Следовательно, там наблюдается наибольшая деформация кручения.

Прямоугольные детали в сравнении с круглым характеризуются значительно меньшими жесткостью и прочностью. Причем это отличие увеличивается с ростом отношения сторон. Следовательно, они более подвержены деформации.

Определение

Элемент g группы G называется элементом кручения, если он имеет конечный порядок, то есть существует натуральное n, такое что gn = e, где e обозначат нейтральный элемент группы. Группа называется периодической (или группой кручения), если все её элементы являются элементами кручения, и группой без кручения, если единственный элемент кручения — нейтральный. Известно, что любая абелева группа является модулем над кольцом целых чисел; в частности, определение элемента кручения для неё можно переформулировать так: существует ненулевое целое число, такое что умножение на это число переводит данный элемент в ноль. Это мотивирует следующее определение:

Элемент m модуля M над кольцом R называется элементом кручения, если существует ненулевой регулярный элемент r кольца R (то есть элемент, не являющийся левым или правым делителем нуля), аннулирующий m, то есть такой, что rm = 0. В случае работы с целостным кольцом предположение регулярности можно отбросить. Аналогичным образом определяются модуль кручения и модуль без кручения. В случае, если кольцо R коммутативно, можество всех элементов кручения модуля M образует подмодуль, называемый подмодулем кручения (в частности, для модуля над Z он называется подгруппой кручения).

Более общо, пусть M — модуль над кольцом R и S — мультипликативно замкнутая система кольца. Элемент m модуля M называется элементом S-кручения, если существует элемент мультипликативной системы, аннулирующий m. В частности, множество регулярных элементов кольца является наибольшей мультипликативной системой.

Измерения

Прежде всего установите диапазон амплитуд, в котором выполняется условие (8). Для этого укрепите грузы на некотором расстоянии от проволоки и возбудите в системе крутильные колебания. Измеряя время нескольких (не менее 10-ти) полных колебаний, найдите период Т₁. уменьшая амплитуду вдвое, тем же способом найдите соответствующий период Т₂. если Т₁= Т₂, то для проведения измерений можно выбрать любую амплитуду не больше первой. Если же окажется, что , то амплитуду необходимо уменьшить до такого значения , начиная с которого для всех 2 и Т 2 . разработка этого вопроса предоставляется читателю.

Зная ƒ, найдите значение модуля сдвига G по формуле (2) и оцените допущенную при этом погрешность.

Модуль — кручение

Модуль кручения при комнатной температуре колеблется от 9 000 кг мм2 до 22000 кг мм2 и медленно понижается с ростом температуры до 1000 К. При дальнейшем повышении температуры значение модуля кручения падает быстрее, достигая 3 06Э кг мм2 при 2 000 К. Образование тонких пленок окислов на вольфраме и их восстановление в водороде представляют значительный интерес для конструкторов электровакуумных приборов.
 

Модуль кручения и твердость весьма заметным образом изменяются в зависимости от кристалличности полиэтилена.
 

Модуль кручения G представляет собой меру жесткости материала. Заметим, что более кристаллический образец является более жестким во всей области температур, охватываемых опытом.
 

Экспериментально модуль кручения можно измерить, наблюдая крутильные колебания тяжелого тела, подвешенного к нижнему концу проволоки.
 

Полагая модуль кручения нити А равным D5 — 10 4 дин-см / рад, определить угол поворота зеркальца С, если суммарный поток лучистой энергии, падающей на зачерненные крылыш — Рис 21 ки В равен Р0 14 вт.
 

Экспериментально модуль кручения D проволоки можно измерить при помощи крутильных колебаний тяжелого тела, подвешенного к ее концу.
 

Таким образом, модуль кручения кривой равен скорости вращения соприкасающейся плоскости.
 

Величину G называют модулем кручения.
 

Для М G ( модуль кручения) определяют скорость поперечной волны V -, в вытянутых ( продолговатых) телах или скорость крутильных волн и.
 

Температура стеклования и зависимость модуля кручения от температуры для привитого сополимера поли-бутилметакрилат — полистирол, полученного по этому методу, являются, по-видимому, промежуточными между соответствующими характеристиками для отдельных полимерных компонентов.
 

Проанализировать характер кривой зависимости модуля кручения от температуры при заданном моменте инерции системы; определить температурные области переходов полимеров из одного физического состояния в другое; проанализировать полученную зависимость тангенса угла механических потерь от температуры при заданном моменте инерции системы; объяснить смещение температур стеклования полимеров при изменении момента инерции системы.
 

Тс, измеренная по модулю кручения, увеличивается пропорционально содержанию сополимера стирола с малеиновым ангидридом.