Виды сечений труб

Литература

• Archimedes в переводе Томаса Хита. The Works of Archimedes. — Dover, c. 260 BCE, год публикации 2002. — С. 91–93. — ISBN 978-0-486-42084-4.
• Petr Beckmann. A History of Pi. — St. Martin’s Griffin, 1976. — ISBN 978-0-312-38185-1.
• J. Gerretsen, P. Verdenduin. Fundamentals of Mathematics, Volume II: Geometry. — MIT Press, 1983. — С. 243–250. — ISBN 978-0-262-52094-2.
• Miklós Laczkovich. Equidecomposability and discrepancy: A solution to Tarski’s circle squaring problem // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1990. — Т. 404. — С. 77–117. (недоступная ссылка)
• Serge Lang. Math! : Encounters with High School Students. — Springer-Verlag, 1985. — ISBN 978-0-387-96129-3.
• David Eugene Smith, Yoshio Mikami. A history of Japanese mathematics. — Chicago: Open Court Publishing, 1914. — С. 130–132. — ISBN 978-0-87548-170-8.
• J. M.Thijsse. Computational Physics. — Cambridge University Press, 2006. — С. 273. — ISBN 978-0-521-57588-1.

Доказательство перегруппировкой

Площадь круга после перегруппировки

Анимация перегруппировки

Следуя Сато Мошуну и Леонардо да Винчи , мы можем использовать вписанные правильные многоугольники другим способом. Положим, мы вписали шестиугольник. Разрежем шестиугольник на шесть треугольников, делая сечения через центр. Два противоположных треугольника содержат общие диаметры. Сдвинем теперь треугольники, чтобы радиальные стороны стали смежными. Теперь пара треугольников образует параллелограмм, в котором стороны шестиугольника образуют две противоположные стороны длиной s. Две радиальные стороны становятся боковыми сторонами, а высота параллелограмма равна h (как в доказательстве Архимеда). Фактически, мы можем собрать все треугольники в один большой параллелограмм, располагая в ряд полученные параллелограммы (из двух треугольников). То же самое будет верно, если мы будем увеличивать число сторон. Для многоугольника с 2n сторонами параллелограмм будет иметь основание ns и высоту h. С ростом числа сторон длина основания параллелограмма увеличивается, стремясь к половине окружности, а высота стремится к радиусу. В пределе параллелограмм становится прямоугольником с шириной πr и высотой r.

Приближения площади круга единичного радиуса перегруппировкой треугольников.

многоугольник	параллелограмм
n		сторона		основание		высота		площадь
4		1,4142136		2,8284271		0,7071068		2,0000000
6		1,0000000		3,0000000		0,8660254		2,5980762
8		0,7653669		3,0614675		0,9238795		2,8284271
10		0,6180340		3,0901699		0,9510565		2,9389263
12		0,5176381		3,1058285		0,9659258		3,0000000
14		0,4450419		3,1152931		0,9749279		3,0371862
16		0,3901806		3,1214452		0,9807853		3,0614675
96		0,0654382		3,1410320		0,9994646		3,1393502
∞		1/∞		π		1		π

Формула вычисления площади круга

Давайте разберем несколько формул расчета площади круга. Поехали!

Площадь круга через радиус

S = π * r2, где r — это радиус, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

Площадь круга через длину окружности

S = L2​ : 4 * π, где L — это длина окружности.

Важно!
задачку не решить, если длина и ширина переданы в разных единицах длины. Для правильного решения переведите все данные к одной единице измерения, и все получится.. Популярные единицы измерения

Популярные единицы измерения

• квадратный миллиметр (мм2);
• квадратный сантиметр (см2);
• квадратный дециметр (дм2);
• квадратный метр (м2);
• квадратный километр (км2);
• гектар (га).

Онлайн калькулятор

Через длины оснований и высоту

Чему равна площадь трапеции, если: основание a = основание b = высота h = Ответ: S = ед.²Округление ответа: до целогодо десятыхдо сотыхдо тысячныхдо 4 знаковдо 5 знаковдо 6 знаковдо 7 знаковдо 8 знаковдо 9 знаковдо 10 знаковбез округления*

Чему равна площадь трапеции если известны основания a и b, а также высота h?

S = ½ ⋅ (a + b) ⋅ h

Пример

Если у трапеции основание a = 3 см, основание b = 6 см, а высота h = 4 см, то её площадь:

S = ½ ⋅ (3 + 6) ⋅ 4 = 36 / 2 = 18 см²

Через среднюю линию и высоту

Чему равна площадь трапеции, если: средняя линия m = высота h = Ответ: S = ед.²Округление ответа: до целогодо десятыхдо сотыхдо тысячныхдо 4 знаковдо 5 знаковдо 6 знаковдо 7 знаковдо 8 знаковдо 9 знаковдо 10 знаковбез округления*

Чему равна площадь трапеции если известны средняя линия m и высота h?

S = m ⋅ h

Пример

Если у трапеции средняя линия m = 6 см, а высота h = 4 см, то её площадь:

S = 6 ⋅ 4 = 24 см²

Через длины сторон и оснований

Чему равна площадь трапеции, если: основание a = основание b = сторона c = сторона d = Ответ: S = ед.²Округление ответа: до целогодо десятыхдо сотыхдо тысячныхдо 4 знаковдо 5 знаковдо 6 знаковдо 7 знаковдо 8 знаковдо 9 знаковдо 10 знаковбез округления*

Чему равна площадь трапеции если известны основания a и b, а также стороны c и d?

Пример

Если у трапеции основание a = 2 см, основание b = 6 см, сторона c = 4 см, а сторона d = 7 см, то её площадь:

S ≈ 13.555 см²

Через диагонали и угол между ними

Чему равна площадь трапеции, если: диагональ d₁ = диагональ d₂ = угол α = Ответ: S = ед.²Округление ответа: до целогодо десятыхдо сотыхдо тысячныхдо 4 знаковдо 5 знаковдо 6 знаковдо 7 знаковдо 8 знаковдо 9 знаковдо 10 знаковбез округления*

Чему равна площадь трапеции если известны диагонали d₁ и d₂ и угол между ними α?

S = ½ ⋅ d₁ ⋅ d₂ ⋅ sin(α)

Пример

Если у трапеции одна диагональ d₁ = 5 см, другая диагональ d₂ = 7 см, а угол между ними ∠α = 30°, то её площадь:

S = ½ ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ sin (30) = 17.5 ⋅ 0.5= 8.75 см²

Площадь равнобедренной трапеции

Через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

Чему равна площадь трапеции, если: средняя линия m = сторона c = угол α = Ответ: S = ед.²Округление ответа: до целогодо десятыхдо сотыхдо тысячныхдо 4 знаковдо 5 знаковдо 6 знаковдо 7 знаковдо 8 знаковдо 9 знаковдо 10 знаковбез округления*

Чему равна площадь равнобедренной трапеции если средняя линия m, боковая сторона с, a угол при основании α?

S = m ⋅ c ⋅ sin(α)

Пример

Если у равнобедренной трапеции средняя линия m = 6 см, сторона c = 4 см, а угол при основании ∠α = 30°, то её площадь:

S = 6 ⋅ 4 ⋅ sin (30) = 24 ⋅ 0.5 = 12 см²

Через радиус вписанной окружности

Чему равна площадь трапеции, если: радиус r = угол α = Ответ: S = ед.²Округление ответа: до целогодо десятыхдо сотыхдо тысячныхдо 4 знаковдо 5 знаковдо 6 знаковдо 7 знаковдо 8 знаковдо 9 знаковдо 10 знаковбез округления*

Чему равна площадь равнобедренной трапеции если радиус вписанной окружности r, a угол при основании α?

Пример

Если у равнобедренной трапеции радиус вписанной окружности r = 5 см, а угол при основании ∠α = 30°, то её площадь:

S = 4 ⋅ 5² / sin (30) = 100 / 0.5 = 200 см²

Аппроксимация случайными бросаниями

Площадь единичного круга методами Монте-Карло. После 900 бросаний получаем 4×709⁄₉₀₀ = 3,15111…

Если более эффективные методы недоступны, можно прибегнуть к «бросанию дротиков». Этот метод Монте-Карло использует факт, что при случайных бросаниях точки равномерно по площади квадрата, в котором расположен круг, число попаданий в круг приближается к отношению площади круга на площадь квадрата. Следует принимать этот метод как последнюю возможность вычисления площади круга (или фигуры любой формы), поскольку для получения приемлемой точности требует огромного числа испытаний. Для получения точности 10−n необходимо около 100n случайных испытаний .

Обобщения

Мы можем растянуть круг до формы эллипса. Поскольку это растяжение является линейным преобразованием плокости, оно изменяет площадь, но сохраняет отношения площадей. Этот факт можно использовать для вычисления площади произвольного эллипса, отталкиваясь от площади круга.

Пусть единичный эллипс описан квадратом со стороной 2. Преобразование переводит круг в эллипс путём сжатия или растяжения горизонтального и вертикального диаметров до малой и большой оси эллипса. Квадрат становится прямоугольником, описанным вокруг эллипса. Отношение площади круга к площади квадрата равно π/4, и отношение площади эллипса к площади прямоугольника будет тоже π/4. Если a и b — длины малой и большой осей эллипса. Площадь прямоугольника будет равна ab, а тогда площадь эллипса — πab/4.

Мы можем распространить аналогичные техники и на большие размерности. Например, если мы хотим вычислить объём внутри сферы, и мы знаем формулу для площади сферы, мы можем использовать приём, аналогичный «луковичному» подходу для круга.

Обобщения

Мы можем растянуть круг до формы эллипса. Поскольку это растяжение является линейным преобразованием плокости, оно изменяет площадь, но сохраняет отношения площадей. Этот факт можно использовать для вычисления площади произвольного эллипса, отталкиваясь от площади круга.

Пусть единичный эллипс описан квадратом со стороной 2. Преобразование переводит круг в эллипс путём сжатия или растяжения горизонтального и вертикального диаметров до малой и большой оси эллипса. Квадрат становится прямоугольником, описанным вокруг эллипса. Отношение площади круга к площади квадрата равно π/4, и отношение площади эллипса к площади прямоугольника будет тоже π/4. Если a и b — длины малой и большой осей эллипса. Площадь прямоугольника будет равна ab, а тогда площадь эллипса — πab/4.

Мы можем распространить аналогичные техники и на большие размерности. Например, если мы хотим вычислить объём внутри сферы, и мы знаем формулу для площади сферы, мы можем использовать приём, аналогичный «луковичному» подходу для круга.

История

Современные математики могут получить площадь круга с помощью методов интегрирования или вещественного анализа. Однако площадь круга изучалась ещё в Древней Греции. Евдокс Книдский в пятом столетии до нашей эры обнаружил, что площади кругов пропорциональны квадратам их радиусов. Великий математик Архимед использовал методы евклидовой геометрии, чтобы показать, что площадь внутри окружности равна площади прямоугольного треугольника, основание которого имеет длину окружности, а высота равна радиусу окружности, в своей книге . Длина окружности равна 2πr, а площадь треугольника равна половине основания на высоту, что даёт πr2. До Архимеда Гиппократ Хиосский первый показал, что площадь круга пропорциональна квадрату его диаметра в его попытках квадрирования гиппократовых луночек Однако он не установил константу пропорциональности.

Формулы площади выпуклого четырехугольника

1. Формула площади четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними
   Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей умноженному на синус угла между ними:

   S =	1	1 2 sin
   2

   где S — площадь четырехугольника,₁, ₂ — длины диагоналей четырехугольника, — угол между диагоналями четырехугольника.

2. Формула площади описанного четырехугольника (по длине периметра и радиусу вписанной окружности)
   Площадь выпуклого четырехугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружностиS =  · 

3. Формула площади четырехугольника по длине сторон и значению противоположных угловS = √()()()() —  cos2

   где S — площадь четырехугольника,

   , , , — длины сторон четырехугольника,

   = + + + 2  — полупериметр четырехугольника,

    =  + 2  — полусумма двух противоположных углов четырехугольника.

4. Формула площади четырехугольника, вокруг которого можно описать окружностьS = √()()()()

История

Современные математики могут получить площадь круга с помощью методов интегрирования или вещественного анализа. Однако площадь круга изучалась ещё в Древней Греции. Евдокс Книдский в пятом столетии до нашей эры обнаружил, что площади кругов пропорциональны квадратам их радиусов. Великий математик Архимед использовал методы евклидовой геометрии, чтобы показать, что площадь внутри окружности равна площади прямоугольного треугольника, основание которого имеет длину окружности, а высота равна радиусу окружности, в своей книге . Длина окружности равна 2πr, а площадь треугольника равна половине основания на высоту, что даёт πr2. До Архимеда Гиппократ Хиосский первый показал, что площадь круга пропорциональна квадрату его диаметра в его попытках квадрирования гиппократовых луночек Однако он не установил константу пропорциональности.

Сортамент труб.

Табл. 1

Наружный диаметр dн, мм	Внутренний диаметр dвн, мм	Толщина стенки d. мм	Наружный диаметр dн, мм	Внутренний диаметрdвн, мм	Толщина стенки d, мм
1. Трубы стальные бесшовные общего назначения	3. Трубы насосно-компрессорные
14	10	2.0	А. Гладкие
22	18	2.0	48.3	40.3	4.0
32	27	2.5	60.3	50.3	5.0
54	49	2.5	73.0	62.0	5.5
60	54	3.0	88.9	75.9	6.5
70	64	3.0	101.6	88.6	6.5
95	88	3.5	114.3	100.3	7.0
108	100	4.0
2. Трубы нефтепроводные и газопроводные	Б. Трубы с высаженными концами
114	106	4.0	32.0	25.0	3.5
146	136	5.0	42.2	35.2	3.5
168	156	6.0	48.3	40.3	4.0
194	180	7.0	60.3	50.3	5.0
245	227	9.0	73.0	62.0	5.5
273	253	10.0	88.9	75.9	6.5
299	279	10.0	101.6	88.6	6.5
426	492	12.0	114.3	100.3	7.0
529	513	8.0
632	616	8.0

Площадь круга

Для того чтобы найти площадь круга, существует формула, которую лучше запомнить:

S=πr2 – это произведение числа пи на квадрат радиуса.

Поскольку радиус тесно связан отношениями с диаметром и длиной окружности, то путем нехитрых замен можно также вычислить площадь круга через диаметрили длину окружности.

Установить Площадь круга на мобильный

Диаметр – это удвоенный радиус, следовательно, подставляя его в формулу вместо последнего, нужно разделить его обратно на два.Длина окружности представляет собой удвоенное произведение радиуса и числа π: P=2πr, обратным методом получаем, что радиус равен длине окружности, разделенной на его множитель.

Данные онлайн калькуляторы предназначены для расчета площади круга. Вычисление происходит по приведенным выше геометрическим формулам, где π считается константой, округленной до 15-го знака после запятой.Определение: Круг- это часть плоскости , ограниченная окружностью, круг является выпуклой фигурой.Результат работы калькулятора так же округляется до аналогичного разряда. Для использования калькулятора расчета площади круга необходимо ввести только значение радиуса, диаметра или окружности круга. Для калькулятора единицы измерения радиуса не имеют значения – результат вычисляется в абсолютном виде. То есть, если значение радиуса задано, например, в сантиметрах, то и вычисленное калькулятором значение площади круга тоже следует интерпретировать как представленное в квадратных сантиметрах.

Аппроксимация случайными бросаниями

Площадь единичного круга методами Монте-Карло. После 900 бросаний получаем 4×709⁄₉₀₀ = 3,15111…

Если более эффективные методы недоступны, можно прибегнуть к «бросанию дротиков». Этот метод Монте-Карло использует факт, что при случайных бросаниях точки равномерно распространяются по площади квадрата, в котором расположен круг, число попаданий в круг приближается к отношению площади круга на площадь квадрата. Следует принимать этот метод как последнюю возможность вычисления площади круга (или фигуры любой формы), поскольку для получения приемлемой точности требует огромного числа испытаний. Для получения точности 10−n необходимо около 100n случайных испытаний .

Задачи. Определить площадь круга

Мы разобрали три формулы для вычисления площади круга. А теперь тренироваться — поехали!

Задание 1. Как найти площадь круга по диаметру, если значение радиуса равно 6 см.

Как решаем:

1. Диаметр окружности равен двум радиусам.
2. Используем формулу: S = d2 : 4 * π.
3. Подставим известные значения: S = 122 : 4 * 3,14.

S = 113,04 см2.

Задание 2. Найти площадь круга, если известен диаметр равный 90 мм.

Как решаем:

1. Используем формулу: S = d2 : 4 * π.
2. Подставим известные значения: S = 902 : 4 * 3,14.

S = 6358,5 мм2.

Задание 3. Найти длину окружности при радиусе 3 см.

Как решаем:

1. Отношение длины окружности к диаметру является постоянным числом.

π = L : d

1. Получается: L = d * π.
2. Формула площади окружности: L = 2 * π * r.
3. Подставим значение радиуса: L = 2 * 3,14 * 3.

L = 18,84 см2

Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики в детскую школу Skysmart. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до синусов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.

Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем.

Интегрирование

Площадь круга путём интегрирования

Используя интегралы, мы можем просуммировать площадь круга, разделив его на концентрические окружности подобно луковице. Площадь бесконечно тонкого «слоя» радиуса t будет равна 2πt dt, то есть произведению длины окружности на толщину слоя. В результате получим элементарный интеграл для круга радиуса r.

Area(r)=∫r2πtdt=(2π)t22t=r=πr2.{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Area} (r)&{}=\int _{0}^{r}2\pi t\,dt\\&{}=\left_{t=0}^{r}\\&{}=\pi r^{2}.\end{aligned}}}

Можно разбивать круг не на кольца, а на треугольники с бесконечно малым основанием. Площадь каждого такого треугольника равна 1/2 * r * dt. Суммируя (интегрируя) все площади этих треугольников, получим формулу круга:

Area(r)=∫2πr12rdt=12rtt=2πr=πr2.{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Area} (r)&{}=\int _{0}^{2\pi r}{\frac {1}{2}}r\,dt\\&{}=\left_{t=0}^{2\pi r}\\&{}=\pi r^{2}.\end{aligned}}}

История

Современные математики могут получить площадь круга с помощью методов интегрирования или вещественного анализа. Однако площадь круга изучалась ещё в Древней Греции. Гиппократ Хиосский (в своих попытках квадрирования гиппократовых луночек) первым сформулировал утверждение: площадь круга пропорциональна квадрату его диаметра. Евдокс Книдский в IV веке до н. э. строго доказал это утверждение. Однако они не установили значения коэффициента пропорциональности.

Античные математики также безуспешно пытались решить задачу «квадратуры круга», то есть построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади заданному кругу. Проблемой занимались крупнейшие античные учёные — Анаксагор, Антифон, Брисон Гераклейский, Архимед и другие; неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности (трансцендентности) числа π{\displaystyle \pi }, которая была доказана в 1882 году Линдеманом.

Архимед в III веке до н. э. использовал методы евклидовой геометрии, чтобы показать в своей книге «», что площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, основание которого равно длине окружности, а высота равна радиусу окружности. В современных обозначениях, длина окружности равна 2πr{\displaystyle 2\pi r}, а площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, что даёт πr2.{\displaystyle \pi r^{2}.} Архимед уточнил значение числа π{\displaystyle \pi }:

31071<π<317{\displaystyle 3{\frac {10}{71}}<\pi <3{\frac {1}{7}}}

Для доказательства Архимед построил для круга вписанный и описанный 96-угольники и вычислил длины их сторон (см. ниже).

Круг, развёрнутый в треугольник

Средневековые европейские математики использовали для обоснования формулы площади круга метод неделимых. Представим себе разворачивание концентричных кругов бесконечно малой толщины в отрезки, получим прямоугольный треугольник с высотой r и основанием 2πr{\displaystyle 2\pi r} (основание получается из внешней окружности круга). Вычисление площади треугольника даст площадь круга:

Площадь = 12⋅{\displaystyle {1 \over 2}\cdot } основание ⋅{\displaystyle \cdot } высота = 12⋅2πr⋅r<=πr2{\displaystyle {1 \over 2}\cdot 2\pi r\cdot r<=\pi r^{2}}.

Аппроксимация случайными бросаниями

Площадь единичного круга методами Монте-Карло. После 900 бросаний получаем 4×709⁄₉₀₀ = 3,15111…

Если более эффективные методы недоступны, можно прибегнуть к «бросанию дротиков». Этот метод Монте-Карло использует факт, что при случайных бросаниях точки равномерно по площади квадрата, в котором расположен круг, число попаданий в круг приближается к отношению площади круга на площадь квадрата. Следует принимать этот метод как последнюю возможность вычисления площади круга (или фигуры любой формы), поскольку для получения приемлемой точности требует огромного числа испытаний. Для получения точности 10−n необходимо около 100n случайных испытаний .

h t = λ(L/d)(v 2 /2g).

• где L –длина трубопровода.
• d -диаметр участка трубопровода.
• v — средняя скорость перемещения жидкости.
• λ -коэффициент гидравлического сопротивления, который в общем случае зависит от числа Рейнольдса (Re=v*d/ν), и относительной эквивалентной шероховатости труб (Δ/d).

Значения эквивалентной шероховатости Δ внутренней поверхности труб разных типов и видов указаны в таблице 2. А зависимости коэффициента гидравлического сопротивления λ от числа Re и относительной шероховатости Δ/d указаны в таблице 3.

В случае, когда режим движения ламинарный, то для труб некруглого сечения коэффициент гидравлического сопротивления λ находится по персональным для каждого отдельного случая формулам (табл. 4).

Если турбулентное течение развито и функционирует с достаточной степенью точности, то  при определении λ можно использовать формулы для круглой трубы с заменой диаметра d на 4 гидравлических радиуса потока R_г (d=4R_г)

Доказательство перегруппировкой

Площадь круга после перегруппировки

Анимация перегруппировки

Следуя Сато Мошуну и Леонардо да Винчи , мы можем использовать вписанные правильные многоугольники другим способом. Положим, мы вписали шестиугольник. Разрежем шестиугольник на шесть треугольников, делая сечения через центр. Два противоположных треугольника содержат общие диаметры. Сдвинем теперь треугольники, чтобы радиальные стороны стали смежными. Теперь пара треугольников образует параллелограмм, в котором стороны шестиугольника образуют две противоположные стороны длиной s. Две радиальные стороны становятся боковыми сторонами, а высота параллелограмма равна h (как в доказательстве Архимеда). Фактически, мы можем собрать все треугольники в один большой параллелограмм, располагая в ряд полученные параллелограммы (из двух треугольников). То же самое будет верно, если мы будем увеличивать число сторон. Для многоугольника с 2n сторонами параллелограмм будет иметь основание ns и высоту h. С ростом числа сторон длина основания параллелограмма увеличивается, стремясь к половине окружности, а высота стремится к радиусу. В пределе параллелограмм становится прямоугольником с шириной πr и высотой r.

Приближения площади круга единичного радиуса перегруппировкой треугольников.

многоугольник	параллелограмм
n		сторона		основание		высота		площадь
4		1,4142136		2,8284271		0,7071068		2,0000000
6		1,0000000		3,0000000		0,8660254		2,5980762
8		0,7653669		3,0614675		0,9238795		2,8284271
10		0,6180340		3,0901699		0,9510565		2,9389263
12		0,5176381		3,1058285		0,9659258		3,0000000
14		0,4450419		3,1152931		0,9749279		3,0371862
16		0,3901806		3,1214452		0,9807853		3,0614675
96		0,0654382		3,1410320		0,9994646		3,1393502
∞		1/∞		π		1		π

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.
• Archimedes в переводе Томаса Хита. The Works of Archimedes. — Dover, c. 260 BCE, год публикации 2002. — С. 91–93. — ISBN 978-0-486-42084-4.
• Petr Beckmann. A History of Pi. — St. Martin’s Griffin, 1976. — ISBN 978-0-312-38185-1.
• J. Gerretsen, P. Verdenduin. Fundamentals of Mathematics, Volume II: Geometry. — MIT Press, 1983. — С. 243–250. — ISBN 978-0-262-52094-2.
• Serge Lang. Math! : Encounters with High School Students. — Springer-Verlag, 1985. — ISBN 978-0-387-96129-3.
• Miklós Laczkovich. Equidecomposability and discrepancy: A solution to Tarski’s circle squaring problem // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1990. — Т. 404. — С. 77–117.
• David Eugene Smith, Yoshio Mikami. A history of Japanese mathematics. — Chicago: Open Court Publishing, 1914. — С. 130–132. — ISBN 978-0-87548-170-8.
• J. M.Thijsse. Computational Physics. — Cambridge University Press, 2006. — С. 273. — ISBN 978-0-521-57588-1.

Формулы площади треугольника

1. Формула площади треугольника по стороне и высотеПлощадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты

   S =	1
   2

2. Формула площади треугольника по трем сторонам

   S = √()()()

3. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
   Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

   S =	1
   2

4. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

   S =
   4R

5. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружностиПлощадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

   S =  ·

   где S — площадь треугольника, — длины сторон треугольника, — высота треугольника, — угол между сторонами и , — радиус вписанной окружности,
   R — радиус описанной окружности,

   =	+  +	— полупериметр треугольника.
   2

Коэффициенты некоторых местных сопротивлений z.

Табл. 6

Вид местного сопротивления	Схема	Коэффициент местного сопротивления z
Внезапное расширение		(1 – S1/S2)2, S1 = πd2/4, S2 = πD2/4.
Выход из трубы в резервуар больших размеров		1
Постепенное расширение (диффузор)		Если a<8. 0.15 – 0.2 ((1 – (S1/S2)2) Если 80. sin α (1 – S1/S2)2 Если a>30 (1 – S1/S2)2
Вход в трубу:	С острыми краями	0.5
С закругленными краями	0.2-0.1 (в зависимости от радиуса закругления)
С выступающими острыми краями	1
В виде конического патрубка	0.15
Внезапное сужение:		ζ/ɛп + (1/ ɛп – 1)2. z=0.005-0б06 eп= 0.62-0.63 (вход с острыми краями) eп=0.7-0.99 (вход с закругленными краями. По данным ЦАГИ коэффициент местного сопротивления при внезапном сужении определяется зависимостью: 0.5 (1- S1/S2)
	1 — S1/S2
Поворот струи	Закругление	0.14-0.3  (d/r =0.4-1 при j=90) z×j/90 (при j¹90)
Прямое колено	1-1.5
Постепенное сужение (конфузор)		0.005-0.06 (a<5) 0.16-0.24 (7 < <30)
Вентили и задвижки (при полном открытии)	Обыкновенный проходной вентиль	3-5.5
Задвижка	0.12
Диафрагма		(1 + 0.707/(1- S1/S2))2*( S1/S2 – 1)2

Коэффициент сопротивления диафрагмы можно также определить в зависимости от отношения площади поперечного сечения трубы S₂ к площади отверстия диафрагмы S_1.

Значения коэффициентов эквивалентной шероховатости ∆ для труб из различных материалов.

Табл. 2

Группа	Материалы, вид и состояние трубы	∆*10-2. мм
1. Давленые или тянутые трубы	Давленые или тянутые трубы (стеклянные, свинцовые, латунные, медные. цинковые. Оловянные, алюминиевые, никелированные и пр.)	0.10
2. Стальные трубы	Бесшовные стальные трубы высшего качества изготовления	1.0
Новые и чистые стальные трубы	6.0
Стальные трубы, не подверженные коррозии	15.0
Стальные трубы, подверженные коррозии	20.0
Стальные трубы сильно заржавевшие	200
Очищенные стальные трубы	17
3. Чугунные трубы	Новые черные чугунные трубы	25
Обыкновенные водопроводные чугунные трубы, б /у	100
Старые заржавленные чугунные трубы	150
Очень старые, шероховатые. заржавленные чугунные трубы с отложениями	250
4. Бетонные, каменные и асбоцементные трубы	Новые асбоцементные трубы	4
Очень тщательно изготовленные трубы из чистого цемента	15
Обыкновенные чистые бетонные трубы	50

Обобщения

Мы можем растянуть круг до формы эллипса. Поскольку это растяжение является линейным преобразованием плокости, оно изменяет площадь, но сохраняет отношения площадей. Этот факт можно использовать для вычисления площади произвольного эллипса, отталкиваясь от площади круга.

Пусть единичный эллипс описан квадратом со стороной 2. Преобразование переводит круг в эллипс путём сжатия или растяжения горизонтального и вертикального диаметров до малой и большой оси эллипса. Квадрат становится прямоугольником, описанным вокруг эллипса. Отношение площади круга к площади квадрата равно π/4, и отношение площади эллипса к площади прямоугольника будет тоже π/4. Если a и b — длины малой и большой осей эллипса. Площадь прямоугольника будет равна ab, а тогда площадь эллипса — πab/4.

Мы можем распространить аналогичные техники и на большие размерности. Например, если мы хотим вычислить объём внутри сферы, и мы знаем формулу для площади сферы, мы можем использовать приём, аналогичный «луковичному» подходу для круга.

Интегрирование

Площадь круга путём интегрирования

Используя интегралы, мы можем просуммировать площадь круга, разделив его на концентрические окружности подобно луковице. Площадь бесконечно тонкого «слоя» радиуса t будет равна 2πt dt, то есть произведению длины окружности на толщину слоя. В результате получим элементарный интеграл для круга радиуса r.

Area(r)=∫r2πtdt=(2π)t22t=r=πr2.{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Area} (r)&{}=\int _{0}^{r}2\pi t\,dt\\&{}=\left_{t=0}^{r}\\&{}=\pi r^{2}.\end{aligned}}}

Можно разбивать круг не на кольца, а на треугольники с бесконечно малым основанием. Площадь каждого такого треугольника равна 1/2 * r * dt. Суммируя (интегрируя) все площади этих треугольников, получим формулу круга:

Area(r)=∫2πr12rdt=12rtt=2πr=πr2.{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Area} (r)&{}=\int _{0}^{2\pi r}{\frac {1}{2}}r\,dt\\&{}=\left_{t=0}^{2\pi r}\\&{}=\pi r^{2}.\end{aligned}}}

Способы расчета

Чтобы получить круглое поперечное сечение, необходимо разрезать объёмную фигуру перпендикулярно оси вращения. В случае с цилиндром площади всех поперечных сечений будут равны между собой — как, например, кружки колбасы, нарезанные поперек батона, одинаковы.

Шар, по сути, представляет собой напластование блинчиков-кругов различного диаметра от точечного до заданного и обратно до точки. Чтобы найти S какого-либо из блинчиков, необходимо определить его радиус. Принцип его расчёта сводится к решению теоремы Пифагора, где гипотенузой выступает радиус шара, а искомый радиус становится одним из катетов.

При расчёте площади сечений конуса необходимо найти радиус или диаметр каждого из кругов, учитывая, что в продольном разрезе конус — это равнобедренный треугольник.

Цилиндр, конус и шар — базовые объемные фигуры. Однако существуют более сложные фигуры, например, тор. Тор, или тороид, при первом приближении являет собой не что иное, как бублик или баранку. Разломив его пополам, на торцах можно увидеть два одинаковых круга. Площадь такого поперечного сечения можно получить, удвоив имеющуюся (на рисунке серая область справа). Если взять нож и рассечь баранку вдоль, на срезе получится кольцо. В случае с такой фигурой необходимо найти площадь круга по внешней окружности и вычесть из нее «дырку от бублика» (показано серым на рисунке слева).

Площадь круглого поперечного сечения рассчитывается исходя из имеющихся характеристик. Она сводится к трем основным формулам. Их можно представить таким образом:

1. Самая популярная, легкая в применении и часто используемая формула. Чтобы узнать площадь фигуры, если известен её радиус, нужно возвести это значение в квадрат и умножить на число π. Для бытовых расчетов достаточно двух знаков после запятой, то есть π = 3,14.
2. Иногда оперируют диаметром, а не радиусом круга. В этом случае к вычислениям добавляется одна операция: диаметр умножают сам на себя, затем на число π, а произведение делят на 4.
3. Если известна длина окружности С и ее радиус R и нужно выяснить площадь круга, ограниченного этой окружностью, не понадобится даже π. Используют следующую формулу: значение С делят пополам и умножают на R. Полученное чисто и будет искомой величиной.